Dubbi su alcuni passaggi dimostrazione unicità del limite

[caffeinaplus]

Salve a tutti, premetto che mi sto arrangiando un po da internet con questa dimostrazione visto che quella del mio libro è un po "oscura" per me, e che questa è una delle poche che ho trovato comprensibile, quindi se ci sono errori segnalatemeli a tutto spiano

Data una funzione $f:X->R$ e preso un generico punto $x_0 \in X$ supponiamo che il limite della funzione calcolato in $x_0$ non sia unico, quindi

$lim_(x->x_0)f(x) = l$ e $lim_(x->x_0)f(x) = m$ e costruiamo due intorni disgiunti per i risultati $V_1(l), V_2(m): V_1(l) \nn V_2(m) = \phi$

Primo dubbio (oltre a quello su come ho usato la notazione ): perchè i due intorni delle immagini vanno presi disgiunti?Cioè, pure se ad esempio due numeri sono elementi dello stesso intervallo, sono pur sempre distinti.Devo considerare l'ampiezza dell'intervallo pari a $\epsilon$?Perchè così già avrebbe più senso

Mi fa prendere due intorni di $x_0 \in U_1(x_0), U_2(x_0)$

Io ho anche supposto che, essendo due intervalli diversi dello stesso punto uno è sicuramente contenuto nell'altro

$U_1 \sub U_2$

detto questo, mi fa stabilire queste due relazioni ( io le ho scritte in questo modo che trovo .. migliore, non so se cambiano di significato però)

$f(x) \in V_1 \AA x_0 \in U_1$
$f(x) \in V_2 \AA x_0 \in U_2$

Ma se $x_0 \in U_1 \rightarrow x_0 \in U_2$ allora $f(x) \in V_1, V_2$ che va in contrasto con l'ipotesi che sono due insieme disgiunti.Ora, il significato geometrico mi è chiaro, però anche per l'ultimo passaggio nutro qualche incomprensione, spero in voi per capire meglio il tutto.Grazie mille in anticipo

[alextimes]

Ti rispondo da studente, ti dovrai accontentare

Anzitutto vogliamo dimostrare l'unicità del limite per assurdo, ossia tentiamo di supporre falsa la tesi che il limite esistente sia unico per poi accorgerci di una contraddizione sostanziale che riavvalora la tesi.

E l'ipotesi è questa:

"caffeinaplus":
Data una funzione $ f:X->R $ e preso un generico punto $ x_0 \in X $ supponiamo che il limite della funzione calcolato in $ x_0 $ non sia unico, quindi
$ lim_(x->x_0)f(x) = l $ e $ lim_(x->x_0)f(x) = m $ e costruiamo due intorni disgiunti per i risultati $ V_1(l), V_2(m): V_1(l) \nn V_2(m) = \phi $

Attenzione però, perché quello che tu hai ritenuto fosse una phi ($ \phi $) è in realtà un insieme vuoto $ \emptyset $. Classico docet.

"caffeinaplus":
Mi fa prendere due intorni di $ x_0 \in U_1(x_0), U_2(x_0) $
Io ho anche supposto che, essendo due intervalli diversi dello stesso punto uno è sicuramente contenuto nell'altro
$ U_1 \sub U_2 $

Hai supposto bene [strike](che termine ambiguo )[/strike], però lo direi subito dopo, è una conseguenza logica.
Assumo due intorni di $ x_0 \in U_1(x_0), U_2(x_0) $ tali che:

$ f(x) \in V_1 \AA x_0 \in U_1 $
$ f(x) \in V_2 \AA x_0 \in U_2 $

per cui anche $ U_1\capU_2 $ è un intorno di $ x_0 $, quindi anche $ V_1\capV_2 $ è un intorno di $ f(x) $, che va a negare la nostra ipotesi, ossia va a negare che i due intorni fossero disgiunti.

Spero di esserti stato utile.
Ciauz!