Dubbi con disequazione e semplificazione di derivate
Salve, ho alcuni dubbi sui seguenti esercizi:
1)DISEQUAZIONE: io ho la seguente funzione: $-((e^(1-2x))/(x^2))$, ne devo studiare il segno e quindi la pongo uguale a zero, cioè: $-((e^1-2x)/(x^2))>0$. Se la lascio così com'è, senza cambiare il segno, ottengo: $N>0$, cioè: $-e^(1-2x)>0$, cioè: $e^(1-2x)<0$ che fa: "non esiste $x$ appartenente a R", cioè nessuna soluzione; $D>0$, cioè: $x^2>0$, cioè: $x!=0$. Quindi col prodotto dei segni la funzione mi viene sempre negativa, e non esiste in $0$. Nel caso in cui decidessi invece di cambiare il segno, e quindi, anche il verso, otterrei il risultato opposto, cioè la funzione sarebbe sempre positiva. Vi chiedo perché? Come si fa a cambiare il segno e il verso di questa disequazione ottenendo lo stesso risultato? Inoltre, ho lo stesso problema con quest'altro esercizio: $-x^2e^(1-2x)>0$.
2) SEMPLIFICAZIONE DI DERIVATA (FATTOR COMUNE): ho la seguente funzione: $(x^2+1)/(1-X^2)^2$, ne calcolo la derivata, cioè: $f^('')(x)=(2x(1-x^2)^2-2(1-x^2)(-2x)(x^2+1))/(1-x^2)^4$. Arrivato a questo punto, il mio professore la semplifica in questo modo: $(2x(1-x^2)[1-x^2+2(x^2+1)])/(1-x^2)^4$, semplificando (cioè tagliando): $(1-x^2)$ e il $4$ dell'esponente del denominatore che diventa $3$; e in questo passaggio io non ho chiaro: che fine ha fatto il segno $-$ e che fine ha fatto $(1-x^2)$. Poi al passaggio successivo il prof. scrive: $(2x[1-x^2+2x^2+2])/(1-x^2)^3$ (comprensibile se si capisce il passaggio precedente), ed infine, scrive: $(2x[x^2+3])/(1-x^2)^3$ (anche questo comprensibile). Quindi è proprio il secondo passaggio che non mi è chiaro, cioè la semplificazione.
3)SEMPLIFICAZIONE DI UNA FUNZIONE LOGARITMICA: nella funzione $1-log2x-1$ si semplifica l'$1$ col $-1$ e rimane $-log2x$?
Mi scuso per la banalità di queste domande, ma sono per me molto importanti. Grazie.
1)DISEQUAZIONE: io ho la seguente funzione: $-((e^(1-2x))/(x^2))$, ne devo studiare il segno e quindi la pongo uguale a zero, cioè: $-((e^1-2x)/(x^2))>0$. Se la lascio così com'è, senza cambiare il segno, ottengo: $N>0$, cioè: $-e^(1-2x)>0$, cioè: $e^(1-2x)<0$ che fa: "non esiste $x$ appartenente a R", cioè nessuna soluzione; $D>0$, cioè: $x^2>0$, cioè: $x!=0$. Quindi col prodotto dei segni la funzione mi viene sempre negativa, e non esiste in $0$. Nel caso in cui decidessi invece di cambiare il segno, e quindi, anche il verso, otterrei il risultato opposto, cioè la funzione sarebbe sempre positiva. Vi chiedo perché? Come si fa a cambiare il segno e il verso di questa disequazione ottenendo lo stesso risultato? Inoltre, ho lo stesso problema con quest'altro esercizio: $-x^2e^(1-2x)>0$.
2) SEMPLIFICAZIONE DI DERIVATA (FATTOR COMUNE): ho la seguente funzione: $(x^2+1)/(1-X^2)^2$, ne calcolo la derivata, cioè: $f^('')(x)=(2x(1-x^2)^2-2(1-x^2)(-2x)(x^2+1))/(1-x^2)^4$. Arrivato a questo punto, il mio professore la semplifica in questo modo: $(2x(1-x^2)[1-x^2+2(x^2+1)])/(1-x^2)^4$, semplificando (cioè tagliando): $(1-x^2)$ e il $4$ dell'esponente del denominatore che diventa $3$; e in questo passaggio io non ho chiaro: che fine ha fatto il segno $-$ e che fine ha fatto $(1-x^2)$. Poi al passaggio successivo il prof. scrive: $(2x[1-x^2+2x^2+2])/(1-x^2)^3$ (comprensibile se si capisce il passaggio precedente), ed infine, scrive: $(2x[x^2+3])/(1-x^2)^3$ (anche questo comprensibile). Quindi è proprio il secondo passaggio che non mi è chiaro, cioè la semplificazione.
3)SEMPLIFICAZIONE DI UNA FUNZIONE LOGARITMICA: nella funzione $1-log2x-1$ si semplifica l'$1$ col $-1$ e rimane $-log2x$?
Mi scuso per la banalità di queste domande, ma sono per me molto importanti. Grazie.
Risposte
"Francobati":
1)DISEQUAZIONE:
E' del tipo
$-\frac{"termine positivo"}{"termine positivo o nullo"}>0$ se ci pensi bene.
(ovviamente è da escludere dal dominio quando si annulla il denominatore).
Alla fine hai risolto ugualmente
"Francobati":
Quindi col prodotto dei segni la funzione mi viene sempre negativa, e non esiste in $0$.
"Francobati":
Nel caso in cui decidessi invece di cambiare il segno, e quindi, anche il verso, otterrei il risultato opposto, cioè la funzione sarebbe sempre positiva. Vi chiedo perché? Come si fa a cambiare il segno e il verso di questa disequazione ottenendo lo stesso risultato? Inoltre, ho lo stesso problema con quest'altro esercizio: $-x^2e^(1-2x)>0$.
Quando cambi segno cambi anche il verso. Cambiare segno vuol dire moltiplicare ambo i membri per $-1$ e, dunque, si cambia verso della disequazione.
Otterresti
$\frac{...}{...}<0$
che non vale lo stesso (non ho riscritto tutto ma si capisce ugualmente).
Fino a qui
"Francobati":
che fine ha fatto il segno $-$ e che fine ha fatto $(1-x^2)$
$(1-x^2)$ si è semplificato con il denominatore: conta che $(1-x^2)^4=(1-x^2)(1-x^2)^3$.
... Segno meno? Quale?
"Francobati":
3)SEMPLIFICAZIONE DI UNA FUNZIONE LOGARITMICA: nella funzione $1-log2x-1$ si semplifica l'$1$ col $-1$ e rimane $-log2x$?
Sì.
"Francobati":
Mi scuso per la banalità di queste domande, ma sono per me molto importanti. Grazie.
Non devi scusarti: le domande diventano banali solamente quando padroneggerai tali argomenti.
Il segno meno intendo quello davanti al 2 nella derivata seconda. Ma quindi se cambiando segno e verso ottengo un altro risultato, non lo devo fare? La devo lasciare così com'è? Qual è il modo per cambiare verso e segno senza alterare il risultato?
"Francobati":
Il segno meno intendo quello davanti al 2 nella derivata seconda.
Sarà una questione semplice, ma ora non capisco proprio il punto - ignoranza (momentanea spero) mia, intendo.
Magari passa un altro utente con il suggerimento giusto e... meglio così!
"Francobati":
Ma quindi se cambiando segno e verso ottengo un altro risultato, non lo devo fare? La devo lasciare così com'è? Qual è il modo per cambiare verso e segno senza alterare il risultato?
Se cambi segno e verso non ottieni un altro risultato.
Nelle disequazioni si diceva - medie? superiori? - che valeva il fatto che se si cambia segno (o si moltiplicano ambo i membri per un numero negativo), si cambia verso.
L'esempio pratico è questo.
Se hai $3<4$, questa è verificata poiché è vero che $3$ è minore di $4$.
Se cambi segno e verso hai $-3> -4$ che è ancora verificata poiché $-3$ è maggiore di $-4$.
Puoi notare che se non cambi verso avresti $-3<-4$ che non è affatto vera!
Buon 2014 ai forumisti.
"Francobati":
Il segno meno intendo quello davanti al 2 nella derivata seconda. Ma quindi se cambiando segno e verso ottengo un altro risultato, non lo devo fare? La devo lasciare così com'è? Qual è il modo per cambiare verso e segno senza alterare il risultato?
La disequazione è del tipo $-f(x)>0$ con soluzione "mai, perché $-f$ è sempre negativa", se cambi tutto di segno resta che per vedere quando $-f(x)>0$ basta guardare quando $f(x)<0$ e la risposta resta "mai, perché $f$ è sempre positiva", che è lo stesso che dire "mai, perché $-f$ è sempre negativa".
Spero di essermi spiegata.
$f^('')(x)=(2x(1-x^2)^2-2(1-x^2)(-2x)(x^2+1))/(1-x^2)^4=$ adesso si raccoglie a fattor comune $2x(1-x^2)$, del primo addendo $2x(1-x^2)^2$ resta solo $1-x^2$, del secondo addendo $-2(1-x^2)(-2x)(x^2+1)$ resta $-2(-1)(x^2+1)=+2(x^2+1)$
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