Drepanoide...come si dimostra l'equivalenza..

[GDLAN1983]

Come si dimostra l'equivalenza tra il drepanoide ed il parallelogramma che è servito a costruirlo?

La dimostrazione che il perimetro del drepanoide è uguale alla lunghezza di una circonferenza mi sembra facile. Basta vederlo dalla figura ma le aree non ci riesco.
Grazie.

[@melia]

Facendo riferimento per le lettere alla figura che trovi qui. Ho trovato l'area del triangolo mistilineo ODC e quella del triangolo ODC, fatta la differenza e moltiplicata per 2 trovo quanto devo togliere all'area del cerchio a causa del primo archetto, stasso giochino con il secondo arco. Per calcolare le areole ho indicato $hat(DOC)=alpha$,e, ovviamente, $hat(CO'E)= pi-alpha$. Ho calcolato l'area del drepanoide e quella del parallelogrammo, mi vengono entrambe $2 r^2 sin alpha$

[giammaria2]

Ho fatto lo stesso ragionamento, ma poi ho visto che non occorrono calcoli; basta considerare le eguaglianze evidenti dalla figura. La somma di tutti i triangoli ottenuti col precedente ragionamento dà il parallelogramma, mentre la somma dei settori dà il semicerchio di centro O' ed è sottratta dal semicerchio in alto.

[GDLAN1983]

Come ha scritto @melia indicando con $\alpha$ l'angolo $\hat(D O C)$ e con $ (pi - \alpha)$ l'angolo $\hat (C O' E)$ l' area del Depranoide viene proprio $2r^2sen\alpha$ , grazie all'applicazione delle formule di duplicazione riusciamo a fare delle semplificazioni molto utili che ci consentono di fare presto ed eliminare la presenza di $sen \alpha/2$ e $cos \(alpha/2)$.

Piu' difficile è vedere le cose che ha indicato giammaria.

Grazie.

[vittorino70]

[giammaria2]

La dimostrazione migliore è senz'altro quella di vittorino70; uso la sua figura per chiarire la mia soluzione. I triangoli veri e propri avranno il nome preceduto dalla lettera $t$ e i settori dalla lettera $s$; S è l'area del semicerchio in alto.
L'area del drepanoide è

$S_d=S-[S(sHFC)-S(tHFC)]+S(tEBH)-2[S(sBCH)-S(tBCH)]=$
$=S-[S(sHFC)+2S(sBCH)]+[S(tHFC)+S(tEBH)+2S(tBCH)]$

Poiché quelli che vittorino70 chiama $S_1, S_3$ sono uguali, la prima quadra è uguale a
$S(sHFC)+S(sBCH)+S(sFCL_1)= $ area del semicerchio di diametro $BL_1$

Per la seconda quadra, noto che sono uguali i triangoli BCH e AEB, quindi la seconda quadra è uguale a
$S(tHFC)+S(tEBH)+S(tBCH)+S(tAEB)= $ area del parallelogramma.