Dominio Misto

[Pemberton!]

Più che dominio misto questo è un fritto misto che non porta colesterolo alto ma solo cervelli spappolati e brutti incubi notturni

E' nel mio interesse capire come approcciarvici, piuttosto che risolverlo.

$((log^2(2cos(x)-1)+e^(2x))/(sqrt(1-sen^2(x))+sen(x)))^arccos(sqrt(x))$

Ragionando da ignorante, dovrei considerare:

1) Argomento dell'arcocoseno esponente compreso tra -1 e 1;
2) Base variabile dell'esponente, maggiore di zero;
3) Argomento del logaritmo, maggiore di zero;
4) Argomento radice al denominatore maggiore uguale a zero;
5) Denominatore diverso da zero;
Rispettivamente

${(-1 leq sqrt(x) leq 1),((log^2(2cos(x)-1)+e^(2x))/(sqrt(1-sen^2(x))+sen(x))>0),(2cos(x)-1>0),(1-sen^2(x)geq0),((sqrt(1-sen^2(x))+sen(x)ne0):}$

Posso velocemente dedurre che:

1) $0 leq x leq 1$

3) $cos(x)>1/2$ ovvero $ -(pi/3) < x < (pi/3) $

O meglio: $2kpi
4) $ sen^2(x) leq 1 rightarrow -1leqsen(x)leq1 rightarrow$ Per ogni x appartenente ad R

5) E' una condizione superflua in quanto, dovendo imporre che la base dell'esponente ($arccos(sqrt(x))$) dev'essere maggiore di zero, è implicito che dobbiamo scartare i valori in cui il denominatore si annulla.

Ed è proprio sulla condizione 2 che ho un attimino di difficoltà.

$(log^2(2cos(x)-1)+e^(2x))/(sqrt(1-sen^2(x))+sen(x))>0$

Il numeratore è somma di un logaritmo al quadrato ( sempre positivo nel suo Dominio, vero?) e un esponenziale al quadrato (sempre positivo e mai nullo.)

E' giusto quindi dire che il Numeratore è positivo quando $2kpi
Per il denominatore invece dovrei svolgere la seguente disequazione irrazionale

$sqrt(1-sen^2(x)) > -sen(x)$

Giusto?

[@melia]

Per la disequazione a denominatore
$ sqrt(1-sin^2(x)) > -sin(x) $, ma $1-sin^2(x)=cos^2x$, quindi

$ sqrt(cos^2x) > -sin(x) $ cioè $|cos x|> -sinx$, dalla condizione 3 sappiamo che $cosx>1/2$, quindi è possibile togliere il valore assoluto e risolvere

$cosx> -sinx$ e, sempre per la condizione 3, possiamo dividere per il coseno che è sicuramente positivo

$1> -tan x$ quindi $tan x> -1$ (NB abbiamo utilizzato la condizione (3), quindi poi devi metterla a sistema con questa condizione)

Per il numeratore i calcoli mi sembrano corretti, però devi dire che è sempre positivo quando esiste, questo significa che non si può fare uno studio dei segni perché se esiste è positivo, ma non è mai negativo.