Dominio $ln(sqrt(x+9)-2x)$
Ciao,
sto provando a calcolare il dominio di $ln(sqrt(x+9)-2x)$, sicuramente sbaglio qualcosa e il risultato non corrisponde con quello dell'esercizio (è il k, a pagina 15 del libro "Esercizi di Analisi Matematica 1" di S. Lancelotti ).
Potreste aiutarmi a capire cosa sbaglio, per cortesia?
Svolgimento:
il dominio di una funzione logaritmica prevede che la base sia $>0$ e $≠1$ e l'argomento sia $>0$, in questo caso la base è $e$ quindi è valida, e devo porre $sqrt(x+9)-2x>0$ per trovare il dominio della funzione.
$sqrt(x+9)-2x>0$, $sqrt(x+9)>(2x)^2$, $x+9>4x^2$, $-4x^2+x+9>0$
discriminante = $1^2 - 4*-4*9$ = 145, discriminante $> 0$ e $a < 0$ quindi $x > 0$ nell'intervallo $x_1 < x
$x_1 \frac{1-sqrt(145)}{2} < x < x_2 \frac{1+sqrt(145)}{2}$
La seconda condizione è $sqrt(x+9)>=0$, il cui risultato è $x>=-9$
Se fino a qui è giusto, poi come devo procedere?
Grazie
sto provando a calcolare il dominio di $ln(sqrt(x+9)-2x)$, sicuramente sbaglio qualcosa e il risultato non corrisponde con quello dell'esercizio (è il k, a pagina 15 del libro "Esercizi di Analisi Matematica 1" di S. Lancelotti ).
Potreste aiutarmi a capire cosa sbaglio, per cortesia?
Svolgimento:
il dominio di una funzione logaritmica prevede che la base sia $>0$ e $≠1$ e l'argomento sia $>0$, in questo caso la base è $e$ quindi è valida, e devo porre $sqrt(x+9)-2x>0$ per trovare il dominio della funzione.
$sqrt(x+9)-2x>0$, $sqrt(x+9)>(2x)^2$, $x+9>4x^2$, $-4x^2+x+9>0$
discriminante = $1^2 - 4*-4*9$ = 145, discriminante $> 0$ e $a < 0$ quindi $x > 0$ nell'intervallo $x_1 < x
$x_1 \frac{1-sqrt(145)}{2} < x < x_2 \frac{1+sqrt(145)}{2}$
La seconda condizione è $sqrt(x+9)>=0$, il cui risultato è $x>=-9$
Se fino a qui è giusto, poi come devo procedere?
Grazie
Risposte
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Grazie mille, sellacollesella.
Non sapevo di questo procedimento, ecco perché la mia soluzione era sempre sbagliata.
Questo metodo si applica quando ho una disuguaglianza tra 2 funzioni qualsiasi, o necessariamente una delle due deve essere una radice pari?
Non ho ben compreso questa frase:
In che senso a patto che risulti \(x+9 \ge 0\)?
Non sapevo di questo procedimento, ecco perché la mia soluzione era sempre sbagliata.
Questo metodo si applica quando ho una disuguaglianza tra 2 funzioni qualsiasi, o necessariamente una delle due deve essere una radice pari?
Non ho ben compreso questa frase:
"sellacollesella":
il cui membro sinistro è sempre non negativo a patto che risulti \(x+9 \ge 0\).
In che senso a patto che risulti \(x+9 \ge 0\)?
"Anna33":
Non ho ben compreso questa frase:
[quote="sellacollesella"] il cui membro sinistro è sempre non negativo a patto che risulti \(x+9 \ge 0\).
In che senso a patto che risulti \(x+9 \ge 0\)?[/quote]
$sqrt(x+9)$ è definita per $x>=-9$.
Grazie HowardRoark, so che la funzione è definita per $x>=-9$, ma non comprendo il significato "matematico" della frase citata nel messaggio precedente.
"Anna33":
Grazie HowardRoark, so che la funzione è definita per $x>=-9$, ma non comprendo il significato "matematico" della frase citata nel messaggio precedente.
$sqrt$, proprio per come è definita, è sempre non negativa, pertanto il caso $2x<0 => x<0$ e $x+9>=0$ è banale perché è verificata per ogni $x$ appartenente al dominio della radice minore di 0 (cioè $-9<=x<0$).
Discutere questo caso è fondamentale perché altrimenti, se discutessi il solo sistema $sqrt(x+9)>2x$ e $x>=-9$(cioè l'argomento del logaritmo che dev'essere strettamente positivo e le condizioni di esistenza della radice), avresti nel membro di destra della prima disequazione dei valori della $x$ (ad esempio $-8$), per i quali non potresti elevare al quadrato entrambi i membri, perché otterresti una disuguaglianza falsa.
Se hai altri dubbi o se non ho chiarito bene quello che hai posto scrivi pure
Grazie mille per la spiegazione, HowardRoark, ora ho capito!
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Grazie infinite per questa spiegazione, sellacollesella, è tutto chiaro!
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