Dominio funzione a due variabili

[mrpoint]

Salve a tutti, ho questa funzione a due variabili: $sqrt(1+log((x+y)^2-1))$

Il dominio della funzione dovrebbe essere composto dalle disequazioni:
$(x+y)^2-1>0$ e $1+log((x+y)^2-1)>=0$

la prima disequazione è verificata per $(x+y)^2>1$ che diventa $x+y>1$ o $x+y<-1$.

Ora vengono le domande:

Nella seconda disequazione invece ho che risulta verificata quando $log((x+y)^2-1)>(-1)$
nella soluzione poi leggo che $(x+y)^2>=(1/e)+1$, bene qui proprio non capisco, da dove arriva questa considerazione? mi suona molto come conseguenza delle proprietà di $e$ e dei logaritmi ma non saprei dire altro, sicuramente è una considerazione che non avrei fatto autonomamente. Qualcuno mi sa dare una spiegazione? Grazie mille

[Steven11]

"mrpoint":
nella soluzione poi leggo che $(x+y)^2>=(1/e)+1$, bene qui proprio non capisco, da dove arriva questa considerazione? mi suona molto come conseguenza delle proprietà di $e$ e dei logaritmi ma non saprei dire altro, sicuramente è una considerazione che non avrei fatto autonomamente. Qualcuno mi sa dare una spiegazione? Grazie mille

Ciao.
Se hai in generale
$logt=z$ allora significa $t=e^z$, cioè stiamo ripetendo la definizione di logaritmo.

Quindi se hai

$log[(x+y)^2-1]> -1$, avrò
$(x+y)^2-1>e^(-1)$ (cioè $(x+y)^2$ sarebbe la $t$ di prima, e $-1$ la $z$).

Cioè appunto porto $-1$ di là e $e^(-1)$ lo puoi scrivere come $1/e$, quindi ottieni la scrittur del libro.

Questo giochetto possiamo farlo solo perché la base le logaritmo è $e$, cioè maggiore di $1$.
Altrimenti dopo aver tolto il logaritmo, dovevamo mettere la disuguaglianza nell'altro verso.

Ciao.

[mrpoint]

grazie mille