DOminio funzione

[fed_27]

mi aiutate in questo esercizo ho alcune domande da farvi <>
$y=arcsen log (x-1)/ log (x+1)$
allora discuto l'arcsen ponendo il suo argomento compreso tra -1 e 1
quindi ho due disequazioni
$log (x-1) / log (x-1) > -1 $ e $log (x-1) / log (x-1) < 1$
prima domanda: facendo queste disequazioni discuto il denominatore con la regola dei segni prima o dopo aver eliminato i logaritmi?
poi
non devo dimenticare di discutere i due argomenti dei logaritmi $ x>1$ e $ x > -1$ con $log x+1 $diverso da$ 0$ per entrambi i sistemi
ditemi se fin qui sono andato bene?

ora devo discutere i due sistemi e unire i risultati ditemi se sbaglio?

[The borg]

I logaritmi puoi tenerli fino alla fine non ha differenza, ricordati di mettere gli argomenti dei log maggiori di zero....

[G.D.5]

Data la funzione $f$ di equazione $f(x)=arcsen\frac{ln(x-1)}{ln(x+1)}$ bisogna porre

${(-1<=\frac{ln(x-1)}{ln(x+1)}<=1),(x-1>0),(x+1>0):}

ove il simbolo di sistema (cioè la parentesi graffa) indica che "operativamente" bisogna intersecare gli insiemi delle soluzioni.

La disequazione $-1<=\frac{ln(x-1)}{ln(x+1)}<=1$ è del tutto equivalente (ovviamente, fermo restando che debbano avere senso le funzioni che vi compaiono) al sistema

${(-1<=\frac{ln(x-1)}{ln(x+1)}),(\frac{ln(x-1)}{ln(x+1)}<=1):}$

Quindi, il sistema iniziale, infine, diventa:

${(-1<=\frac{ln(x-1)}{ln(x+1)}),(\frac{ln(x-1)}{ln(x+1)}<=1),(x-1>0),(x+1>0):}$

Quanto ad eliminare i logaritmi, non credo che si possano eliminare, questi restano comunque; esempio: volendo discutere la disequazione

$-1<=\frac{ln(x-1)}{ln(x+1)}$

si avrà:

$-1<=\frac{ln(x+1)}{ln(x+1)} => 0<=1+\frac{ln(x-1)}{ln(x+1)} => 0<=\frac{ln(x+1)+ln(x-1)}{ln(x+1)} => 0<=\frac{ln[(x+1)(x-1)]}{ln(x+1)}$

e ora, come si è soliti fare, bisognerà studiare il segno di numeraore e denominatore studiando propedeuticamente, per esempio, le disequazioni

$ln[(x+1)(x-1)]>=0$ e $ln(x+1)>0$

P.S. Spero di non avere commesso errori.

[fed_27]

"WiZaRd":Data la funzione $f$ di equazione $f(x)=arcsen\frac{ln(x-1)}{ln(x+1)}$ bisogna porre

${(-1<=\frac{ln(x-1)}{ln(x+1)}<=1),(x-1>0),(x+1>0):}

ove il simbolo di sistema (cioè la parentesi graffa) indica che "operativamente" bisogna intersecare gli insiemi delle soluzioni.

La disequazione $-1<=\frac{ln(x-1)}{ln(x+1)}<=1$ è del tutto equivalente (ovviamente, fermo restando che debbano avere senso le funzioni che vi compaiono) al sistema

${(-1<=\frac{ln(x-1)}{ln(x+1)}),(\frac{ln(x-1)}{ln(x+1)}<=1):}$

Quindi, il sistema iniziale, infine, diventa:

${(-1<=\frac{ln(x-1)}{ln(x+1)}),(\frac{ln(x-1)}{ln(x+1)}<=1),(x-1>0),(x+1>0):}$

Quanto ad eliminare i logaritmi, non credo che si possano eliminare, questi restano comunque; esempio: volendo discutere la disequazione

$-1<=\frac{ln(x-1)}{ln(x+1)}$

si avrà:

$-1<=\frac{ln(x+1)}{ln(x+1)} => 0<=1+\frac{ln(x-1)}{ln(x+1)} => 0<=\frac{ln(x+1)+ln(x-1)}{ln(x+1)} => 0<=\frac{ln[(x+1)(x-1)]}{ln(x+1)}$

e ora, come si è soliti fare, bisognerà studiare il segno di numeraore e denominatore studiando propedeuticamente, per esempio, le disequazioni

$ln[(x+1)(x-1)]>=0$ e $ln(x+1)>0$

P.S. Spero di non avere commesso errori.

infatti mi trovavo
$log x^2 -1 >0$ e $ log x+1 >0 $ uso la regola dei segni e concludo

[Sk_Anonymous]

Scusatemi, ma mi sembra che vi siate complicati inutilmente a vita, perchè molti dei passaggi svolti sono superflui visti alla luce dei risultati precedenti. Vi chiedo inoltre un po' di comprensione perché è la prima volta che uso questo linguaggio per scrivere le formule e potrei essere imprecisa, ma commenterò tutti i passaggi.

$-1<= log(x-1)/log(x+1)<=1$
$x-1>0 => x>1$
$x+1>0 => x> -1$
$log(x+1) !=0 => x!=0$

le disequazioni risolte impongono $ x>1$, in tal caso $log(x+1)$ è positivo, cambia segno in 0, quindi la prima disequazione può essere risolta moltiplicando per
$log(x+1)$, che è positivo, e diventa

$ -log(x+1)<= log(x-1)<=log(x+1) => log(1/(x+1))<= log(x-1)<=log(x+1) $

per la monotonia della funzione logaritmica diventa

$ 1/(x+1)<= x-1<=x+1 => $

delle due disequazioni la seconda $ x-1<=x+1 $ è sempre verificata, mentre la prima, poiché $ x>1$, può essere risolta moltiplicando per il denominatore e diventa

$ 1<= x^2-1 => (x<=- sqrt(2) vv x >= sqrt(2))$ , ma $ x>1$, quindi intersecando le soluzioni si ottiene $ x >= sqrt(2)$