Dominio e segno di una funzione logaritmica ed esponenziale
ciao a tutti volevo chiedere se per piacere potevate aiutarmi a giungere al dominio e al segno di queste due funzioni passo per passo, perche mi hanno messo in difficoltà e domani ho la verifica. ecco le funzioni:
y=(1-lnx^2)/(1+lnx) e y=2^((x-2)/x)
y=(1-lnx^2)/(1+lnx) e y=2^((x-2)/x)
Risposte
vediamo la prima funzione
$f(x)=(1-ln(x)^2)/(1+ln(x))$
ad un occhio attente notiamo subito che: $1-ln(x)^2=(1+ln(x))(1-ln(x))$ questo perché una struttura del genere: $A^2-B^2$ è il prodotto di una somma per una differenza.
Quindi la funzione si riduce:
$f(x)=((1+ln(x))(1-ln(x)))/(1+ln(x))=1-ln(x)$
Perciò da questa possiamo ricavare da subito il dominio di questa funzione perché sappiamo che l'argomento del logaritmo in questo caso $x$ deve essere sempre maggiore di zero.
$D={AAx\inRR:x>0}$
Il segno invece bisogna studiare la funzione con una disequazione.
La domanda da porsi è: Quando la funzione è positiva? (positiva significa maggiore di zero)
Che in matematica si scrive: $f(x)>0$
Quindi: $1-ln(x)>0 rarr ln(x)< 1 rarr e^ln(x)
Mentre per la funzione $f(x)=2^((x-2)/x)$ sappiamo che una funzione esponenziale esiste su tutto $RR$ (significa che qualsiasi valore diamo ad $x$ la funzione esiste)...
Però nel nostro caso l'esponente è una funzione fratta. Questa invece è definita solo quando il denominatore è diverso da zero.
Dove il denominatore della funzione all'esponente è proprio $x$, perciò $x!=0$.
$D={AAx\inRR:x!=0}$
Studiamo il segno... quindi basta chiederci... Quando una funzione esponenziale è maggiore di zero? SEMPRE!
$f(x)=(1-ln(x)^2)/(1+ln(x))$
ad un occhio attente notiamo subito che: $1-ln(x)^2=(1+ln(x))(1-ln(x))$ questo perché una struttura del genere: $A^2-B^2$ è il prodotto di una somma per una differenza.
Quindi la funzione si riduce:
$f(x)=((1+ln(x))(1-ln(x)))/(1+ln(x))=1-ln(x)$
Perciò da questa possiamo ricavare da subito il dominio di questa funzione perché sappiamo che l'argomento del logaritmo in questo caso $x$ deve essere sempre maggiore di zero.
$D={AAx\inRR:x>0}$
Il segno invece bisogna studiare la funzione con una disequazione.
La domanda da porsi è: Quando la funzione è positiva? (positiva significa maggiore di zero)
Che in matematica si scrive: $f(x)>0$
Quindi: $1-ln(x)>0 rarr ln(x)< 1 rarr e^ln(x)
Mentre per la funzione $f(x)=2^((x-2)/x)$ sappiamo che una funzione esponenziale esiste su tutto $RR$ (significa che qualsiasi valore diamo ad $x$ la funzione esiste)...
Però nel nostro caso l'esponente è una funzione fratta. Questa invece è definita solo quando il denominatore è diverso da zero.
Dove il denominatore della funzione all'esponente è proprio $x$, perciò $x!=0$.
$D={AAx\inRR:x!=0}$
Studiamo il segno... quindi basta chiederci... Quando una funzione esponenziale è maggiore di zero? SEMPRE!
La semplificazione della prima funzione è efficace a patto di non dimenticare che la divisione per zero non è lecita: quando $ x=1/e $ la funzione iniziale non è definita.
Ciao
Ciao
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