Dominio di una funzione
Buongiorno a tutti
Dubbi sulla seguente funzione
$ y=sqrt(x^3-3x^2) $
Perchè la funzione sia reale quanto c'è sotto radice deve essere maggiore o uguale a zero, e fin qui ci arrivo...
Vedendo l'assenza di termine noto mi sono fiondato a raccogliere x^2 ottenendo il doppio prodotto
$ x^2(x-3)>=0 $
e le due relative soluzioni
$ x>=0$ ed $x>=3 $
Che mi ha fatto pensare ad un successivo studio del segno dei due risultati così da ottenere $ x<=0 x>=3$
Che è un errore, il risultato dell'esercizio è $ x>=3 $ e l'ho confermato verificando con il solutore online ma anche procedendo in altri modi tipo
$ x^3>=3x^2 $ che diviso per $x^2$ diventa
$ x>=3 $
La cosa che chiedo allora è: in questo caso perchè il mio primo procedimento è sbagliato? Perchè ho sbagliato a raccogliere e studiare il segno delle soluzioni? L'ho sempre usato e raramente ho avuto risultati sbagliati...
Spero di essermi spiegato adeguatamente... Grazie!
Dubbi sulla seguente funzione
$ y=sqrt(x^3-3x^2) $
Perchè la funzione sia reale quanto c'è sotto radice deve essere maggiore o uguale a zero, e fin qui ci arrivo...
Vedendo l'assenza di termine noto mi sono fiondato a raccogliere x^2 ottenendo il doppio prodotto
$ x^2(x-3)>=0 $
e le due relative soluzioni
$ x>=0$ ed $x>=3 $
Che mi ha fatto pensare ad un successivo studio del segno dei due risultati così da ottenere $ x<=0 x>=3$
Che è un errore, il risultato dell'esercizio è $ x>=3 $ e l'ho confermato verificando con il solutore online ma anche procedendo in altri modi tipo
$ x^3>=3x^2 $ che diviso per $x^2$ diventa
$ x>=3 $
La cosa che chiedo allora è: in questo caso perchè il mio primo procedimento è sbagliato? Perchè ho sbagliato a raccogliere e studiare il segno delle soluzioni? L'ho sempre usato e raramente ho avuto risultati sbagliati...
Spero di essermi spiegato adeguatamente... Grazie!
Risposte
Per ogni $x \in \mathbb{R}$ si ha $x^2\geq 0$ (piccola svista, tommmik). Quindi $x^3-3x^2=x^2(x-3)$ è positivo o nullo quando $x-3$ lo è.
sì avevo scritto $<=0$ per errore di battitura (sto scrivendo dal cellulare)....ma avevo già anche eliminato il messaggio quando ho visto che stavi rispondendo... già che ci sei potresti spiegare all'OP quanto è pericolosa (e sbagliata) l'altra strada.....quella di dividere tutto per $x^2$
Inoltre, a questo punto, riesumo parte della mia risposta precedente
perché se non ti accorgi che $x^2 >=0 AAx in RR$ puoi sempre scomporre il tuo prodotto in fattori "non ulteriormente scomponibili":
$x*x*(x-3)>=0$ e trovare così la soluzione corretta
[Sì lo so è un procedimento inutile ma penso possa servire all'OP per capire l'errore che ha commesso]
Inoltre, a questo punto, riesumo parte della mia risposta precedente
"thefont73":
La cosa che chiedo allora è: in questo caso perchè il mio primo procedimento è sbagliato?
perché se non ti accorgi che $x^2 >=0 AAx in RR$ puoi sempre scomporre il tuo prodotto in fattori "non ulteriormente scomponibili":
$x*x*(x-3)>=0$ e trovare così la soluzione corretta
[Sì lo so è un procedimento inutile ma penso possa servire all'OP per capire l'errore che ha commesso]
$x^2$ è positivo o nullo. Il problema è che può essere uguale a $0$ e decidendo di dividere entrambi i membri di una equazione o disequazione per $x^2$ rischieresti di dividere per $0$.
Non so come ringraziarvi, non avevo assolutamente pensato ad $ x^2>=0 $ AAx in mathbb(R) $
Grazie mille per le molte spiegazioni!
Grazie mille per le molte spiegazioni!
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