Dominio di una funzione
Data la funzione
$y=(1-cos(2x))/(x*sinx)$
ho calcolato il dominio ponendo il denominatore diverso da zero. Però, calcolando il limite per x che tende a 0 o ad un multiplo di pigreco la funzione risulta definita. È un caso particolare? In questo caso me ne sono accorto perché ho disegnato la funzione e poi ho controllato, ma se mi capitasse alla maturità questo "scherzo", come dovrei comportarmi?
$y=(1-cos(2x))/(x*sinx)$
ho calcolato il dominio ponendo il denominatore diverso da zero. Però, calcolando il limite per x che tende a 0 o ad un multiplo di pigreco la funzione risulta definita. È un caso particolare? In questo caso me ne sono accorto perché ho disegnato la funzione e poi ho controllato, ma se mi capitasse alla maturità questo "scherzo", come dovrei comportarmi?
Risposte
Ciao.
Attenzione, il fatto che il limite di una funzione esista in un punto e sia finito, non implica necessariamente che la funzione esista in quel punto.
Esempio banale:
Sia $f(x)=x/x$; chiaramente la funzione non è definibile per $x=0$, ma esiste $lim_{xto0}f(x)=lim_{xto0}x/x=1$.
Chiaro?
Saluti.
Attenzione, il fatto che il limite di una funzione esista in un punto e sia finito, non implica necessariamente che la funzione esista in quel punto.
Esempio banale:
Sia $f(x)=x/x$; chiaramente la funzione non è definibile per $x=0$, ma esiste $lim_{xto0}f(x)=lim_{xto0}x/x=1$.
Chiaro?
Saluti.
Si si chiaro, io mi riferivo al mio caso in particolare.
Quindi nel calcolare il dominio della funzione è possibile escludere dei punti che forse potrebbero farne parte. Il mio dubbio era come accorgersene... tipo nella funzione che ho scritto, come avresti calcolato il dominio? Verificando il limite? Dunque ogni volta che pongo il denominatore diverso da zero devo calcolare il limite per quel/quei valori per vedere se è esiste ed è finito?
Quindi nel calcolare il dominio della funzione è possibile escludere dei punti che forse potrebbero farne parte. Il mio dubbio era come accorgersene... tipo nella funzione che ho scritto, come avresti calcolato il dominio? Verificando il limite? Dunque ogni volta che pongo il denominatore diverso da zero devo calcolare il limite per quel/quei valori per vedere se è esiste ed è finito?
Stai facendo confusione ... son cose diverse.
Il dominio di una funzione è l'insieme in cui può variare la variabile indipendente o la $x$, insomma quel valore da cui partire per calcolarti il valore della funzione: il dominio di una funzione dovrebbe essere sempre dato mai trovato altrimenti la funzione non è definita; quello che si chiede solitamente di trovare sono le condizioni di esistenza ovvero il più grande dominio possibile perché la funzione esista.
Per esempio $f: RR -> RR, f(x)=x$ e $g: [0,1] -> RR, g(x)=x$ sono funzioni diverse perché il dominio è diverso, chiaro?
Mentre per quanto riguarda il limite di una funzione in un punto un prerequisito necessario per calcolarlo è che il punto in questione sia un punto di accumulazione per il dominio della funzione; punto di accumulazione significa che il punto in cui voglio calcolare il limite può appartenere o meno al dominio della funzione ma in ogni intorno di tale punto devono esistere infiniti punti del dominio.
Detto in modo grossolano: i limiti sono nati proprio per capire come si "comporterebbe" un funzione in un punto in cui la funzione non esiste ...
Cordialmente, Alex
Il dominio di una funzione è l'insieme in cui può variare la variabile indipendente o la $x$, insomma quel valore da cui partire per calcolarti il valore della funzione: il dominio di una funzione dovrebbe essere sempre dato mai trovato altrimenti la funzione non è definita; quello che si chiede solitamente di trovare sono le condizioni di esistenza ovvero il più grande dominio possibile perché la funzione esista.
Per esempio $f: RR -> RR, f(x)=x$ e $g: [0,1] -> RR, g(x)=x$ sono funzioni diverse perché il dominio è diverso, chiaro?
Mentre per quanto riguarda il limite di una funzione in un punto un prerequisito necessario per calcolarlo è che il punto in questione sia un punto di accumulazione per il dominio della funzione; punto di accumulazione significa che il punto in cui voglio calcolare il limite può appartenere o meno al dominio della funzione ma in ogni intorno di tale punto devono esistere infiniti punti del dominio.
Detto in modo grossolano: i limiti sono nati proprio per capire come si "comporterebbe" un funzione in un punto in cui la funzione non esiste ...
Cordialmente, Alex
La funzione $y=(1-cos(2x))/(x*sinx)$ ha come dominio $x!=k pi$ con $k in ZZ$, ma applicando le formule di duplicazione del coseno la funzione diventa $y=(1-cos(2x))/(x*sinx)= (1-1+2sin^2x)/(x*sinx)=sin^2x/(x*sinx)$ a questo punto puoi semplificare numeratore e denominatore per $sinx$ solo se $sinx!=0$, quindi
$y=(1-cos(2x))/(x*sinx)$ può essere scritta come $y=2 sinx/x$ ma solo se $x!=k pi$ con $k in ZZ$. Quando $x=k pi$ la funzione non esiste, anche se ne esiste finito il limite. Si dice che in tal caso la funzione ha una discontinuità eliminabile.
Hai detto: se mi capitasse alla maturità. Suppongo, visto che ormai siamo agli sgoccioli, che tu ti riferisca alla maturità 2015-2016, in tal caso non preoccuparti, il tuo insegnante tratterà in modo completo e discontinuità nel prossimo anno scolastico.
$y=(1-cos(2x))/(x*sinx)$ può essere scritta come $y=2 sinx/x$ ma solo se $x!=k pi$ con $k in ZZ$. Quando $x=k pi$ la funzione non esiste, anche se ne esiste finito il limite. Si dice che in tal caso la funzione ha una discontinuità eliminabile.
Hai detto: se mi capitasse alla maturità. Suppongo, visto che ormai siamo agli sgoccioli, che tu ti riferisca alla maturità 2015-2016, in tal caso non preoccuparti, il tuo insegnante tratterà in modo completo e discontinuità nel prossimo anno scolastico.
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