Dominio di funzione e logaritmi
Devo determinare il dominio di $y= sqrt(ln^2(-x) -2lnx^2 + 3)$ Noto subito che deve essere $x<0$.
Arrivo alla forma $ln^2(-x) -2lnx^2 + (ln8)/(ln2) >=0$.
Una prima domanda banale: è sbagliato passare dalla forma di sopra a $ln^2(-x) -4lnx + (ln8)/(ln2) >=0$? Perché in quest'ultimo caso l'argomento del logaritmo $-4lnx$, per le condizioni di esistenza dell'espressione, deve essere negativo.
EDIT: ripassando meglio l'argomento mi sono reso conto che l'ultima espressione non è corretta, in quanto la regola del logaritmo di una potenza vale solo per un numero positivo elevato a un esponente reale, e $x$ in questo caso non può essere positivo.
Comunque sia, il problema di determinare il dominio rimane...
Arrivo alla forma $ln^2(-x) -2lnx^2 + (ln8)/(ln2) >=0$.
Una prima domanda banale: è sbagliato passare dalla forma di sopra a $ln^2(-x) -4lnx + (ln8)/(ln2) >=0$? Perché in quest'ultimo caso l'argomento del logaritmo $-4lnx$, per le condizioni di esistenza dell'espressione, deve essere negativo.
EDIT: ripassando meglio l'argomento mi sono reso conto che l'ultima espressione non è corretta, in quanto la regola del logaritmo di una potenza vale solo per un numero positivo elevato a un esponente reale, e $x$ in questo caso non può essere positivo.
Comunque sia, il problema di determinare il dominio rimane...
Risposte
Ok, ho risolto così:
$ln(-x)^2 -2lnx^2 + 3 >=0 => ln(-x)^2 -4ln(-x) +3 >= 0 => ln(-x) = t => ...$ I punti di sospensione indicano la risoluzione dell'equazione di secondo grado in $t$.
Quello che vorrei capire è se sia corretto il primo passaggio, cioè se, poiché $x<0$, posso scrivere $-2lnx^2 = -4ln(-x)$.
Un altro modo di vedere la cosa forse è quello di ragionare con i moduli: posso porre $ln(|x|)^2 -4ln(|x|) + 3 >=0$...
$ln(-x)^2 -2lnx^2 + 3 >=0 => ln(-x)^2 -4ln(-x) +3 >= 0 => ln(-x) = t => ...$ I punti di sospensione indicano la risoluzione dell'equazione di secondo grado in $t$.
Quello che vorrei capire è se sia corretto il primo passaggio, cioè se, poiché $x<0$, posso scrivere $-2lnx^2 = -4ln(-x)$.
Un altro modo di vedere la cosa forse è quello di ragionare con i moduli: posso porre $ln(|x|)^2 -4ln(|x|) + 3 >=0$...
Sei già al lavoro vedo!
Ma non ti sei ancora del tutto svegliato
Tieni dentro $ln(x^4)$ e sostituisci temporaneamente $x=-u$ con $u>0$ e risolvi l'equazione.
Il dominio che ti uscirà sarà $x<=-e^3$ e $-e<=x<0$
Ma non ti sei ancora del tutto svegliato
Tieni dentro $ln(x^4)$ e sostituisci temporaneamente $x=-u$ con $u>0$ e risolvi l'equazione.
Il dominio che ti uscirà sarà $x<=-e^3$ e $-e<=x<0$
Scusa Haward, c'è un quadrato che si è spostato da $ ln^2(-x) $ a $ ln(-x)^2 $, vuoi correggere e mettere tutto nella forma corretta? Suppongo che fosse la prima delle due.
In effetti il tuo metodo ha il pregio di non farmi venire dei dubbi riguardo le proprietà dei logaritmi.
Sfortunatamente però mi sono impelagato in questa strada, e vorrei sapere se sia corretta o meno. Cioè, poiché $x<0$, posso generalizzare scrivendo $-2lnx^2 = -4ln(-x)$?
O sarebbe forse meglio che rimanessi ancorato alla definizione di logaritmo della potenza, e applicassi tale proprietà solo quando l'argomento è positivo?
Beh, io intanto continuo a lavorare
Sfortunatamente però mi sono impelagato in questa strada, e vorrei sapere se sia corretta o meno. Cioè, poiché $x<0$, posso generalizzare scrivendo $-2lnx^2 = -4ln(-x)$?
O sarebbe forse meglio che rimanessi ancorato alla definizione di logaritmo della potenza, e applicassi tale proprietà solo quando l'argomento è positivo?
Beh, io intanto continuo a lavorare
Quello che proponi è corretto. Ha il difetto di farti rischiare la perdita del segno, perciò il consiglio di Bokonon di porre $x=-u$.
"@melia":
Scusa Haward, c'è un quadrato che si è spostato da $ ln^2(-x) $ a $ ln(-x)^2 $, vuoi correggere e mettere tutto nella forma corretta? Suppongo che fosse la prima delle due.
Ci sono stato un pomeriggio intero a risolvere quest'ambiguità (non che ci volesse un pomeriggio intero per dissiparla; piuttosto, mi ha fatto perdere un pomeriggio intero perché continuavo a sbagliare le equazioni logaritmiche). A quanto pare (secondo la scrittura che adopera il mio libro di testo) $log_a(b)^2 = (log^2)_a(b)$: significano entrambi 'logaritmo al quadrato di $b$'.
Invece la scrittura $log_a (b^2)$ significa 'logaritmo di $b$ al quadrato'.
Comunque anche io preferisco la tua scrittura, sebbene ormai mi sia abituato ad utilizzare quella del libro di testo.
"HowardRoark":
A quanto pare (secondo la scrittura che adopera il mio libro di testo) $log_a(b)^2 = (log^2)_a(b)$: significano entrambi 'logaritmo al quadrato di $b$'.
Certo che indicare in quei due modi (il primo soprattutto) $log_a^2 (b)$...
... forse sono solo io che inizio a invecchiare e a non apprezzare l'evoluzione della matematica.
"Zero87":
[quote="HowardRoark"]A quanto pare (secondo la scrittura che adopera il mio libro di testo) $log_a(b)^2 = (log^2)_a(b)$: significano entrambi 'logaritmo al quadrato di $b$'.
Certo che indicare in quei due modi (il primo soprattutto) $log_a^2 (b)$...
... forse sono solo io che inizio a invecchiare e a non apprezzare l'evoluzione della matematica.
[/quote]Comunque il secondo termine volevo indicarlo con la tua scrittura; l'ho scritto così perché non sono riuscito a scriverlo diversamente.
"HowardRoark":
Comunque il secondo termine volevo indicarlo con la tua scrittura; l'ho scritto così perché non sono riuscito a scriverlo diversamente.
Mi hai migliorato la giornata!
Puoi citare il mio messaggio precedente e vedere come ho scritto io, per esempio. Oppure puoi tenere a mente che qualsiasi "cosa", il "_" dà un pedice mentre il "^" dà l'apice.
Per esempio a_n^2 tra simboli di dollaro dà $a_n^2$.
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