Dominio arcoseno: sembra tutto corretto e invece...

[ack6]

rieccomi ancora una volta con un problema che mi sembra svolto correttamente e invece non lo è, mi sfugge evidentemente qualcosa.

Devo trovare il dominio di questa funzione:

$ y=arcsin [ln(x-1)-lnx] $

imposto allora che:

$ -1 <= ln(x-1)-lnx <= 1 $

da cui:

$ { ( ln(x-1)-lnx <=1 ),( ln(x-1)-lnx >= -1 ):} $

$ { ((x-1)/(x)<=e),( (x-1)/(x)>=1/e ):} $ ho tralasciato l'esistenza dei logaritmi, vedi ps in fondo.

a questo punto i due studi di segno mi portano a questo sistema:

$ { ( 1/(1-e)<=x),( x<0 uu x>= e/(e-1) ):} $

la cui soluzione comune è:

$ 1/(1-e)<=x<0 $

ed ho sbagliato, perchè il libro indica come risultato $ [e/(e-1);+oo ) $

sarà una banalità, ma non capisco dove sbaglio.
Mi sapete indicare se in qualche passaggio ho fatto qualche sciocchezza ?


Ps non ho indicato le condizioni di esistenza dei logaritmi perchè non cambiano la situazione.

[burm87]

Guardando molto molto velocemente trovo solo una cosa che mi suona strana. Tu dici di non includere l'esistenza dei due logaritmi perchè non cambia la soluzione, ma a te viene un intervallo di dominio in cui la $x$ è strettamente negativa, ma già questo contrasta con l'esistenza di $lnx$. O mi sbaglio? Non a caso infatti la soluzione del tuo libro si trova in un intervallo completamente positivo.

Edit: Riguardando meglio, hai errato la soluzione del sistema, dimenticando $x>e/(x-1)$, che a sistema, proprio con le condizioni dei logaritmi dovrebbe far venire la soluzione del libro.

[chiaraotta1]

Riprendo da qui
$ { ((x-1)/(x)<=e),( (x-1)/(x)>=1/e ), (x>1):} $.
Poiché $x>1>0$ le prime due disequazioni si possono moltiplicare per $x$ e quindi si ottiene
$ { (x-1<=ex),( x-1>=x/e ), (x>1):} $
$ { (x<=1+ex),( x>=1+x/e ), (x>1):} $
$ { (x(1-e)<=1),( x(1-1/e)>=1 ), (x>1):} $.
Notando che $1-e$ è $<0$ e $1-1/e$ è $>0$, si ottiene che
$ { (x>=1/(1-e)),( x>=1/(1-1/e)=e/(e-1) ), (x>1):} $.
Poiché il maggiore fra i tre numeri $1/(1-e)$, $e/(e-1) $ e $1$ è $e/(e-1) $, l'intersezione delle soluzioni è $x>=e/(e-1) $.

[ack6]

"chiaraotta":
Notando che $ 1-e $ è $ <0 $...

sono un perfetto idiota! durante i conti mi è sfuggito che dividendo per una quantità negativa bisognava cambiare il verso della disequazione, non facendolo ecco che è partita la catena di errori.

grazie a tutti e due per le risposte. ve ne devo una.