Domande Varie Teoriche

[Riccardo5991]

Salve vorrei porvi i seguenti quesiti

1) Perchè le forme $ 0/0 $ e $ oo / oo $ sono dette forme indeterminate?

2) Cosa distingue una funzione da una non funzione

3) Cosa si intende per Dominio e per Punto di accumulazione e Intorno?

4) Inoltre non riesco a trovare da nessuna parte una fonte dalla quale poter studiare i simboli utilizzati per la scrittura delle soluzioni di una disequazione o di un Dominio ecc.


Non so se in questo forum si possano postare anche queste domande teoriche, in tal caso mi scuso anticipatamente e vi ringrazio in anticipo

[burm87]

Sono tutte domande alle quali puoi trovare risposta consultando i capitoli inerenti in un testo di matematica delle scuole superiori. Non hai un testo oppure nonostante tu abbia letto ti restano dei dubbi? Se sei nel secondo caso, quali sono questi dubbi?

[Riccardo5991]

Si, ho vari testi ma sono piuttosto confusi, volevo soltanto cercare di capire meglio anche attraverso degli esempi pratici, e comunque si sono nel secondo caso

[minomic]

Ciao, per la prima domanda cito un mio messaggio di qualche giorno fa: qui
Per la seconda è sufficiente ricordare la definizione di funzione: una relazione che associa ad ogni elemento dell'insieme di partenza uno e un solo elemento dell'insieme di arrivo. Ad esempio $|y|=x$ non è una funzione. Prendiamo $x=1$, otteniamo $|y|=1 \rightarrow y=+-1$, quindi due valori associati ad un singolo elemento dell'insieme di partenza.
Per la terza... sono definizioni che si trovano veramente ovunque.
Per quanto riguarda la quarta: una quadra "normale" include l'elemento, mentre una quadra "girata" (o una tonda) lo esclude.

[Riccardo5991]

Salve io non capisco questa definizione per un limite finito per x che tende a + inf.

$ limf(x)_(x -> +oo ) , AA l in R $

Significa che

$ AA x in I_oo = (a, +oo ) $

allora

$ f(x) in I_l = (l - epsilon , l+epsilon ) $


Scusate l'ignoranza, qualcuno potrebbe spiegarmi che cosa si sta affermando in questi brevi passaggi?

[minomic]

Ciao, scrivere $$\forall x \in I_{\infty}$$ significa "per ogni $x$ appartenente ad un intorno dell'infinito", cioè per ogni $x$ abbastanza grande (in valore assoluto). Invece scrivere $$f(x) \in I_l = (l-\epsilon, l+\epsilon)$$ significa che il valore della funzione in quel punto appartiene ad un intorno di $l$, cioè non si allontata da $l$ per più di una piccola quantità chiamata $\epsilon$.
Praticamente stiamo dicendo che quando la $x$ si avvicina all'infinito il valore della funzione si avvicina a $l$, quindi $$\lim_{x\to\infty}f(x) = l$$

[Riccardo5991]

Gentilissimo, quindi con $ epsilon $ stabilisce i limiti dell'intorno giusto? Inoltre esso deve essere > 0

Ma come mai mette $ I_oo = (a, +oo ) $ , mi sono peso con questo passaggio


Inoltre praticamente dire che una funzione è definita in un intorno cosa si intende? Che questa tende verso quel determinato punto? Ma l'intorno di un punto non è un qualsiasi intervallo aperto contenente quel determinato punto?

Gran confusione in testa, ringrazio in anticipo per le eventuali risposte...

[minomic]

S', $epsilon$ è una quantità positiva e molto piccola. Alcuni la immaginano come $0,1$ anche se non è certo una cosa molto formale. Mette $I_oo = (a, +oo)$ per dire che un valore appartiene a un intorno dell'infinito se è molto grande, in particolare più grande di $a$. Personalmente credo che il simbolo utilizzato solitamente in questi casi sia $M$, definito come $$M = \frac{1}{\epsilon}$$ Infine qui non si parla di funzione definita in un intorno, ma di valore della funzione che appartiene a un intorno. Qui per intorno intendiamo un intervallo "piccolo", in particolare ampio $2 epsilon$. Immagina la retta dei numeri reali e immagina il tuo valore $l$. Da lì ti puoi spostare di $epsilon$ a sinistra oppure a destra, ma non di più. Ecco l'intorno!

[Riccardo5991]

Grazie mille, ora ho un'idea molto più chiara... solo un'ultima cosa per $ a $ intende un numero qualsiasi no?

Per il limite infinito per x che tende a c, c punto di accumulazione per $ f(x) $

$ limf(x)_(x -> c) = oo $ Significa che $ AA x in I_c - [c] , f(x) in I_infty = (a,+infty) $


Come mai qui esclude $ c $ ?


Ultimissima domanda, per due curve con limite diverso

$ limf(x)_(x -> c^-) != limf(x)_(x -> c^+) $

Allora $ f(x) $ non ammette il limite per $ xrarr x $

Che cosa intende per x che tende ad x?


Grazie mille

[minomic]

"Riccardo5991":per $ a $ intende un numero qualsiasi no?

Non proprio un numero qualsiasi. Intende un numero abbastanza grande da poter dire "più di così ci avviciniamo all'infinito". Quindi parliamo di un numero enorme.

"Riccardo5991": Come mai qui esclude $ c $ ?

Perché calcolare il limite di una funzione vuol dire vedere cosa fa la funzione quando ti avvicini al punto ma senza mai arrivarci. Il motivo è che spesso non puoi proprio arrivarci (ad es. la funzione non è definita in quel punto). D'altra parte se potessi arrivare precisamente in $c$ potresti calcolarti proprio $f(c)$ e non staresti lì a chiederti cosa succede nelle vicinanze di $c$.

"Riccardo5991":Che cosa intende per x che tende ad x?

Ammetto che non lo so. Sicuro di aver copiato giusto?

[Riccardo5991]

Si ho copiato giusto, ho fotografato gli appunti di un altro mio compagno per sicurezza, e combaciano con i miei.

Ultimissima domanda e poi scappo Per $ f(x) $ definita in un intorno che si intende?


Ti ringrazio infinitamente

[minomic]

Una funzione definita in un intorno è una funzione la cui $x$ può assumere valori in quell'intorno.

[Riccardo5991]

Perfetto tutto è chiaro, sei stato molto esaustivo e paziente, ti ringrazio infinitamente

Tuttavia il passaggio di prima è stato forse scritto in forma sbagliata ( $ xrarr x $ )

Su internet ho trovato questo passaggio, che troverebbe essere corretto

Se $ limf(x)_(x -> c^+) != limf(x)_(x -> c^- $ allora non esiste $ limf(x)_(x -> c) $

Come mai questo?

[minomic]

Ah questo sì che ha senso! Perché il limite per $x -> c$ esiste solo se il limite sinistro è uguale al destro, dove "sinistro" indica l'avvicinarsi da sinistra ($x -> c^-$) e "destro" l'avvicinarsi da destra ($x -> c^+$).

[Riccardo5991]

Sei stato più che esaustivo non so come ringraziarti, hai risposto velocemente e in maniera semplice e concreta ai miei quesiti. Grazie infinite

[minomic]

Prego, figurati!

[Riccardo5991]

"Riccardo5991":Salve io non capisco questa definizione per un limite finito per x che tende a + inf.

$ limf(x)_(x -> +oo ) , AA l in R $

Significa che

$ AA x in I_oo = (a, +oo ) $

allora

$ f(x) in I_l = (l - epsilon , l+epsilon ) $

$ f(x) in I_l = (l - epsilon , l+epsilon ) $ ma indicando questo sto affermando che la funzione appartiene ad un intorno "l" che ha come intervallo $ (l - epsilon , l+epsilon ) $ no? Ma la funzione non potrai mai raggiungere il valore "l" giusto? Ma mi pare che nei passaggi che ho scritto io questo non fosse esplicitato, o sbaglio?

[minomic]

"Riccardo5991": la funzione appartiene ad un intorno "l"

Trovo che questa espressione sia un po' ambigua. Secondo me è più corretto dire "il valore assunto dalla funzione appartiene ad un intorno centrato in $l$". Inoltre non si può dire se la funzione raggiunga precisamente il valore $l$ oppure no. Di certo $l$ fa parte del suo intorno, ma insieme a infiniti altri punti.

[Riccardo5991]

Ma se mi dovessi mettere nel caso particolare in cui la retta $ y=l $ sia asindoto della funzione e il valore assunto dalla funzione appartenga ad un intorno centrato in l, la funzione potrà assumere valori compresi tra l−ε e l+ε escluso l giusto?

[gio73]

"Riccardo5991":Ma se mi dovessi mettere nel caso particolare in cui la retta $ y=l $ sia asindoto della funzione e il valore assunto dalla funzione appartenga ad un intorno centrato in l, la funzione potrà assumere valori compresi tra l−ε e l+ε escluso l giusto?

asintoto

in tal caso direi che la funzione si avvicina sempre di più a $l$, da sopra ($l+epsilon$), o da sotto ($l-epsilon$), ma non da tutte e due le parti contemporaneamente, isn't it?

[minomic]

"gio73":in tal caso direi che la funzione si avvicina sempre di più a $l$, da sopra ($l+epsilon$), o da sotto ($l-epsilon$), ma non da tutte e due le parti contemporaneamente, isn't it?

Concordo, anche perché altrimenti non sarebbe una funzione, dato che a una $x$ sarebbero associate contemporaneamente due immagini.