Domande sulle similitudini

[HowardRoark]

Sul mio libro leggo che le condizioni affinché un'affinità di equazioni:
$\{(x'=a_1x+b_1y+c_1), (y'=a_2x+b_2y+c_2) :}$ sia una similitudine è che $a_1^2+a_2^2 = b_1^2+b_2^2$ e che $a_1b_1+a_2b_2 = 0$.

Inoltre mi potreste spiegare perché in una similitudine $\{(x'=ax-by+c), (y'=bx+ay+c') :}$ oppure $\{(x'=ax+by+c), (y'=bx-ay+c') :}$ (la prima è una similitudine diretta, quest'ultima è inversa) il rapporto di similitudine è $k=sqrt(a^2+b^2)$? E' una domanda molto connessa a da dove vengano fuori queste equazioni, spero possiate darmi almeno un'idea.

[megas_archon]

Rappresentando una affinità $f$ come \(\left(\begin{smallmatrix}X\\Y\end{smallmatrix}\right)\mapsto A\left(\begin{smallmatrix}X\\Y\end{smallmatrix}\right)+\left(\begin{smallmatrix}c_1\\c_2\end{smallmatrix}\right)\) dove \(A=\left(\begin{smallmatrix}a_1 & b_1\\a_2 & b_2\end{smallmatrix}\right)\), la condizione affinché essa sia una similitudine è che \(\langle fP,fQ\rangle = k\langle P,Q\rangle\), e RHS di questa equazione è precisamente \(Q^tA^tAP = kQ^tP\), che astraendo in P,Q (o meglio, prendendo come coppia $P,Q$ due vettori della base canonica), ti dà esattamente le condizioni che trovi (ad esempio) su Wikipedia https://it.wikipedia.org/wiki/Similitudine_(geometria) (insieme alla relazione tra $k$ e \(|\det A|\).

[HowardRoark]

In pratica si applica la trasformazione ai versori fondamentali, si determinano le condizioni che devono avere i versori trasformati in base alla trasformazione in esame (isometria, similitudine,...) e poi si traggono le condizioni che deve avere l'affinità affinché sia un'isometria, una similitudine o altro.