Domande su concavità e serie geometrica
Buongiorno e buon weekend: avrei due curiosità da chiedervi:
1) Un esercizio mi chiede "Determinare gli intervalli di concavità della funzione $f(x)=x^2+sqrt(x-1)$ studiando la derivata seconda mi viene che la funzione è concava in $[1;5/4)$ e in 5/4 ha un flesso, il risultato riportato invece è $[1;5/4]$ e sinceramente non capisco perché, concettualmente, prenda anche 5/4, essendo un flesso non dovrebbe prenderlo.
2)Premetto che non ho fatto le serie e le formule delle serie (quindi mi scuso in anticipo se qualcosa è impreciso). Se io ho una successione geometrica $c^0+c^1+c^2+c^n$ con n che tende ad infinito questa successione vale $1/(c-1)$ come si dimostra?
Grazie mille in anticipo, a presto.
1) Un esercizio mi chiede "Determinare gli intervalli di concavità della funzione $f(x)=x^2+sqrt(x-1)$ studiando la derivata seconda mi viene che la funzione è concava in $[1;5/4)$ e in 5/4 ha un flesso, il risultato riportato invece è $[1;5/4]$ e sinceramente non capisco perché, concettualmente, prenda anche 5/4, essendo un flesso non dovrebbe prenderlo.
2)Premetto che non ho fatto le serie e le formule delle serie (quindi mi scuso in anticipo se qualcosa è impreciso). Se io ho una successione geometrica $c^0+c^1+c^2+c^n$ con n che tende ad infinito questa successione vale $1/(c-1)$ come si dimostra?
Grazie mille in anticipo, a presto.
Risposte
Per la prima domanda hai ragione; non tutti gli autori però concordano sull'uso delle parentesi tonde o graffe. Evidentemente chi ha scritto il tuo libro non faceva distinzioni sul loro significato.
Per la seconda domanda, si ha
$(1+c+c^2+...+c^n)(1-c)=1-c+c-c^2+c^2-c^3+.....+c^n-c^(n+1)$
I vari addendi si semplificano fra loro e restano solo il primo e l'ultimo; dividendo per (1-c) (supposto diverso da zero) ottieni
$1+c+c^2+...+c^n=(1-c^(n+1))/(1-c)$
Per $c>1$ il secondo membro tende ad infinito, mentre per $c<1$ tende a $1/(1-c)$ (tu hai scambiato i segni).
Per la seconda domanda, si ha
$(1+c+c^2+...+c^n)(1-c)=1-c+c-c^2+c^2-c^3+.....+c^n-c^(n+1)$
I vari addendi si semplificano fra loro e restano solo il primo e l'ultimo; dividendo per (1-c) (supposto diverso da zero) ottieni
$1+c+c^2+...+c^n=(1-c^(n+1))/(1-c)$
Per $c>1$ il secondo membro tende ad infinito, mentre per $c<1$ tende a $1/(1-c)$ (tu hai scambiato i segni).
Grazie, sì mi son confuso di segno ma ovviamente intendevo proprio quello. Grazie mille!
Lo stesso risultato esce anche con le proprietà delle serie geometriche, giusto? Vedendolo come: $\sum_{k=0}^n(c^k)$?
Grazie ancora e buon week-end!
Lo stesso risultato esce anche con le proprietà delle serie geometriche, giusto? Vedendolo come: $\sum_{k=0}^n(c^k)$?
Grazie ancora e buon week-end!
Forse ho capito cosa intendi. La serie geometrica \(\displaystyle \sum_{i=0}^{\infty} c^i \) non sempre converge, perché?
Anzitutto definiamo somma infinita, cioè: \(\displaystyle \sum_{i=0}^{\infty} c^i=\lim_{n \to +\infty} \sum_{i=0}^{n} c^i = \lim_{n \to +\infty} \frac{c^{n+1}-1}{c-1} \), adesso, come detto da Giammaria, se \(\displaystyle |c|<1 \) allora si che:
\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{c^{n+1}-1}{c-1}=\frac{-1}{c-1}=\frac{1}{1-c} \), in quanto il termine \(\displaystyle c^{n+1} \) tende a zero. Invece se \(\displaystyle c>1 \), il termine \(\displaystyle c^{n+1} \) tende ad infinito e quindi il limite non è finito.
Anzitutto definiamo somma infinita, cioè: \(\displaystyle \sum_{i=0}^{\infty} c^i=\lim_{n \to +\infty} \sum_{i=0}^{n} c^i = \lim_{n \to +\infty} \frac{c^{n+1}-1}{c-1} \), adesso, come detto da Giammaria, se \(\displaystyle |c|<1 \) allora si che:
\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{c^{n+1}-1}{c-1}=\frac{-1}{c-1}=\frac{1}{1-c} \), in quanto il termine \(\displaystyle c^{n+1} \) tende a zero. Invece se \(\displaystyle c>1 \), il termine \(\displaystyle c^{n+1} \) tende ad infinito e quindi il limite non è finito.
Grazie mille! Hai risposto perfettamente alla mia domanda. Scusate se ho omesso di dire che $0
Di nuovo, buona Domenica!
Di nuovo, buona Domenica!
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