Domanda veloce coefficiente binomiale
Il coefficiente binomiale corrisponde alle combinazioni senza ripetizione? Che differenza c'è nel parlare di coefficiente binomiale piuttosto che di combinazioni?
Ad esempio questo quesito: "Consideriamo 20 palline numerate da 1 a 20 dentro un contenitore. In quanti modi ne possiamo estrarre 5 SENZA considerare l'ordine di estrazione? Si supponga che una volta estratta la pallina essa non venga reinserita nel contenitore.
La soluzione dice che il numero totale è pari al numero di sottoinsiemi di un insieme di 20 elementi di cardinalità 5: C(20,5).
Cosa significa?
Purtroppo il mio testo non è esaustivo!
Ad esempio questo quesito: "Consideriamo 20 palline numerate da 1 a 20 dentro un contenitore. In quanti modi ne possiamo estrarre 5 SENZA considerare l'ordine di estrazione? Si supponga che una volta estratta la pallina essa non venga reinserita nel contenitore.
La soluzione dice che il numero totale è pari al numero di sottoinsiemi di un insieme di 20 elementi di cardinalità 5: C(20,5).
Cosa significa?
Purtroppo il mio testo non è esaustivo!
Risposte
significa che la soluzione è
$((20),(5))=(20\cdot19\cdot18\cdot17\cdot16)/(5\cdot4\cdot\3\cdot2\cdot1)$
ovvero tutti i sottoinsiemi che si possono formare con 20 oggetti presi a gruppi di 5, senza possibilità che l'elemento dell'insieme possa essere ripetuto (in un insieme non è importante l'ordine con cui gli elementi compaiono nell'insieme)
considera infatti come funziona l'evento in questione....
la prima pallina avrà 20 possibilità, la seconda 19 ecc ecc....ma dato che l'ordine non conta, devi eliminare tutte le possibili permutazioni della cinquina $rarr$ devi dividere per $ 5!$
quindi, in base alla definizione di coefficiente binomiale:
$((n),(k))=(n!)/(k! (n-k)!)=(n(n-1)(n-2)....(n-k+1))/(k!)$
ti accorgi subito che esso descrive esattamente e sinteticamente la soluzione al tuo problema....in altri termini il coefficiente binomiale $((n),(k))$ rappresenta proprio il numero di combinazioni di $n$ oggetti presi a gruppi di $k$
....oltre a rappresentare i coefficienti dello sviluppo della potenza del binomio, ovviamente (da cui il nome "coefficiente binomiale")
spero sia chiaro
(è una spiegazione poco formale ma piuttosto pratica)
$((20),(5))=(20\cdot19\cdot18\cdot17\cdot16)/(5\cdot4\cdot\3\cdot2\cdot1)$
ovvero tutti i sottoinsiemi che si possono formare con 20 oggetti presi a gruppi di 5, senza possibilità che l'elemento dell'insieme possa essere ripetuto (in un insieme non è importante l'ordine con cui gli elementi compaiono nell'insieme)
considera infatti come funziona l'evento in questione....
la prima pallina avrà 20 possibilità, la seconda 19 ecc ecc....ma dato che l'ordine non conta, devi eliminare tutte le possibili permutazioni della cinquina $rarr$ devi dividere per $ 5!$
quindi, in base alla definizione di coefficiente binomiale:
$((n),(k))=(n!)/(k! (n-k)!)=(n(n-1)(n-2)....(n-k+1))/(k!)$
ti accorgi subito che esso descrive esattamente e sinteticamente la soluzione al tuo problema....in altri termini il coefficiente binomiale $((n),(k))$ rappresenta proprio il numero di combinazioni di $n$ oggetti presi a gruppi di $k$
....oltre a rappresentare i coefficienti dello sviluppo della potenza del binomio, ovviamente (da cui il nome "coefficiente binomiale")
spero sia chiaro
(è una spiegazione poco formale ma piuttosto pratica)
Ciao, grazie della tua risposta molto chiara!
Non ho capito una cosa riguardo la cardinalità; la soluzione parla di cardinalià 5, ma la cardinalità non indica il numero di elementi dell'insieme?
Non ho capito una cosa riguardo la cardinalità; la soluzione parla di cardinalià 5, ma la cardinalità non indica il numero di elementi dell'insieme?
infatti. 5
considera questo esempio:
ci sono 5 persone che devono fare il brindisi. Quanti "cin" faranno con i calici di vino?
il primo farà il brindisi con le 4 persone
il secono farà il brindisi con le 3 restanti, dato che con il primo lo ha già fatto
ecc ecc
in sostanza ne faranno $((5),(2))=(5\cdot4)/(2!)=10$
considera questo esempio:
ci sono 5 persone che devono fare il brindisi. Quanti "cin" faranno con i calici di vino?
il primo farà il brindisi con le 4 persone
il secono farà il brindisi con le 3 restanti, dato che con il primo lo ha già fatto
ecc ecc
in sostanza ne faranno $((5),(2))=(5\cdot4)/(2!)=10$
Ah ok ottimo grazie
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