Domanda: triangoli simili, proporzionalità e raggi circ.ins.
Salve a tutti.
Stavo guardando questo quesito nelle ultime pagine del libro di testo:
Dimostrare che in due triangoli simili i perimetri sono proporzionali ai raggi delle circonferenze inscritte e che le loro aree sono proporzionali ai quadrati degli stessi raggi
Ecco, io non comprendo bene il testo. Se vuole farmi dimostrare una proporzionalità tra perimetro e raggio, perché tirare in ballo due triangoli, e simili?
Io conosco la relazione tra area, raggio della circ.inscritta e semiperimetro,
$S=r*p$
e ovviamente, dando ad un triangolo pedice 1 e all'altro pedice 2, vale
$S_2=k^2S_1$
$p_2=k*p_1$
$r_2=k\cdotr_1$
Non capisco la tesi quale è.
Infine: quando dice proporzionalità, sottintende diretta o lascia spazio anche a quella inversa?
Grazie per l'attenzione, ciao.
Stavo guardando questo quesito nelle ultime pagine del libro di testo:
Dimostrare che in due triangoli simili i perimetri sono proporzionali ai raggi delle circonferenze inscritte e che le loro aree sono proporzionali ai quadrati degli stessi raggi
Ecco, io non comprendo bene il testo. Se vuole farmi dimostrare una proporzionalità tra perimetro e raggio, perché tirare in ballo due triangoli, e simili?
Io conosco la relazione tra area, raggio della circ.inscritta e semiperimetro,
$S=r*p$
e ovviamente, dando ad un triangolo pedice 1 e all'altro pedice 2, vale
$S_2=k^2S_1$
$p_2=k*p_1$
$r_2=k\cdotr_1$
Non capisco la tesi quale è.
Infine: quando dice proporzionalità, sottintende diretta o lascia spazio anche a quella inversa?
Grazie per l'attenzione, ciao.
Risposte
Dal momento che prende due triangoli simili, penso che la tesi sia dimostrare che il perimetro del primo triangolo è proporzionale sia al raggio della circonferenza inscritta nel triangolo stesso che al raggio della circonferenza inscritta nell'altro, lo stesso vale per l'area.
Parlando solo di proporzionalità, penso intenda quella diretta.
Parlando solo di proporzionalità, penso intenda quella diretta.
"Steven":
Salve a tutti.
Stavo guardando questo quesito nelle ultime pagine del libro di testo:
Dimostrare che in due triangoli simili i perimetri sono proporzionali ai raggi delle circonferenze inscritte e che le loro aree sono proporzionali ai quadrati degli stessi raggi
Non ci trovo niente di strano.
Si può modificare a piacere, anche nel modo seguente:
Dimostrare che in due triangoli simili i perimetri sono proporzionali ai raggi
delle circonferenze circoscritte e che le loro aree sono proporzionali ai quadrati
degli stessi raggi.
oppure così:
Dimostrare che in due triangoli simili i perimetri sono proporzionali ai raggi
delle corrispondenti circonferenze ex-inscritte e che le loro aree sono proporzionali
ai quadrati degli stessi raggi.
"Steven":
Salve a tutti.
Stavo guardando questo quesito nelle ultime pagine del libro di testo:
Dimostrare che in due triangoli simili i perimetri sono proporzionali ai raggi delle circonferenze inscritte e che le loro aree sono proporzionali ai quadrati degli stessi raggi
Si può anche fare di più:
Dimostrare che in due triangoli (non equilateri) simili i perimetri sono proporzionali
alle distanze circocentro-incentro e che le loro aree sono proporzionali ai quadrati
degli stesse distanze.
In generale è sufficiente prendere in considerazione una grandezza lineare nel primo triangolo
e la sua corrispondente (nella similitudine) nel secondo triangolo.
"Steven":
Dimostrare che in due triangoli simili i perimetri sono proporzionali ai raggi delle circonferenze inscritte e che le loro aree sono proporzionali ai quadrati degli stessi raggi
Infine: quando dice proporzionalità, sottintende diretta o lascia spazio anche a quella inversa?
Quanto alla proporzionalità, è prassi comune sottointendere la proporzionalità diretta, se non ci sono diverse precisazioni.
Quanto al problema, suppongo che chieda di provare che $2p_1 : 2p_2 = r_1 : r_2$ e che $A_1 : A_2 = r_1^2 : r_2^2$.
"Tipper":
Dal momento che prende due triangoli simili, penso che la tesi sia dimostrare che il perimetro del primo triangolo è proporzionale sia al raggio della circonferenza inscritta nel triangolo stesso che al raggio della circonferenza inscritta nell'altro, lo stesso vale per l'area.
Può anche darsi, ma trovo inutile e banale il fatto che mi citi la storia della similitudine.
Se per ipotesi $r_1$ e $r_2$ sono proporzionali, e riesco a provare che $r_1$ è proporzionale a $p_1$, non è un gran lavoro dedurre che $r_2$ è anche proporzionale a $p_1$.
Quindi non sono nemmeno sicuro di comprendere gli esercizi di franced, visto che il testo è nella stessa forma di questo in questione.
Quanto al problema, suppongo che chieda di provare che $2p_1 : 2p_2 = r_1 : r_2$ e che $A_1 : A_2 = r_1^2 : r_2^2$.
Sì ci avevo pensato. Di solito però i testi sono precisi in questo, dicono "mostra che il rapporto tra.. è uguale a quello tra..."
In questo caso, il problema è lungo una riga (dividere membro a membro $r_2=kr_1$ e $p_2=kp_1$.
D'altra parte i testi delle superiori non è che abbiano esercizi molto stimolanti.
Beh, dire espressamente di mostrare una uguaglianza tra rapporti non è necessario. Se il testo dice di mostrare che i perimetri sono proporzionali ai raggi, può essere inteso come la richiesta di mostarre che la classe di grandezze costituita dai perimetri sia proporzionale a quella costituita dai raggi, nel qual caso, per definizione, si ha da provare quella proprzione.
La storia della similitudine mi pare invece utile, se si intende la richiesta del problema come sopra: supponi di avere $\mathcal{T}_{1}$ dato dalla terna pitagorica $(3,4,5)$ e di avere $\mathcal{T}_{2}$ dato da i lati di lunghezza $7,15,21$. Per il primo triangolo hai $r_1=1/2$ e per il secondo hai $r_2=1,48$ e in questo caso come vedi la proporzione non vale: $12/43 != (1/2)/(1,48)$.
La storia della similitudine mi pare invece utile, se si intende la richiesta del problema come sopra: supponi di avere $\mathcal{T}_{1}$ dato dalla terna pitagorica $(3,4,5)$ e di avere $\mathcal{T}_{2}$ dato da i lati di lunghezza $7,15,21$. Per il primo triangolo hai $r_1=1/2$ e per il secondo hai $r_2=1,48$ e in questo caso come vedi la proporzione non vale: $12/43 != (1/2)/(1,48)$.
"WiZaRd":
La storia della similitudine mi pare invece utile, se si intende la richiesta del problema come sopra:
Beh sì, se l'interpretazione è così come me l'hai suggerita tu, allora la similitudine diventa un'ipotesi essenziale.
Mi suonava strana la cosa se le cose fossero come diceva Tipper.
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