Domanda teorica sulle funzioni razionali intere e asintoti
Buon pomeriggio a tutti, volevo porvi una domanda che mi è saltata in mente studiando alcune funzioni irrazionali.
Il mio professore di matematica oggi ci ha detto che tutte le funzioni cubiche e le funzioni inverse ad esse (quindi radici cubiche di una funzione) non hanno mai asintoti orizzontali o obliqui, suggerimento che mi è sembrato particolarmente utile quando si studia una funzione di questo tipo perché eviti di impelagarti in calcoli complessi.
Cercando su internet, ho scoperto che tutte le funzioni razionali intere non hanno asintoti di alcun tipo. So che se una funzione è definita e continua in tutto R, allora la stessa funzione non ha asintoti verticali. Inoltre, con un po' di ragionamento, sono arrivato alla conclusione che tutte le funzioni polinomiali semplici non hanno asintoti orizzontali o obliqui.
La mia domanda è questa: è corretto il mio ragionamento o ho sbagliato qualcosa? Esistono altri tipi di funzioni che non hanno asintoti orizzontali o obliqui? E inoltre, se la funzione non ha un denominatore, è matematicamente lecito affermare direttamente che la funzione f(x) non ha asintoti orizzontali e obliqui perché è una cubica/polinomiale?
So che la mia domanda può risultare particolare, grazie comunque per l'attenzione!
Il mio professore di matematica oggi ci ha detto che tutte le funzioni cubiche e le funzioni inverse ad esse (quindi radici cubiche di una funzione) non hanno mai asintoti orizzontali o obliqui, suggerimento che mi è sembrato particolarmente utile quando si studia una funzione di questo tipo perché eviti di impelagarti in calcoli complessi.
Cercando su internet, ho scoperto che tutte le funzioni razionali intere non hanno asintoti di alcun tipo. So che se una funzione è definita e continua in tutto R, allora la stessa funzione non ha asintoti verticali. Inoltre, con un po' di ragionamento, sono arrivato alla conclusione che tutte le funzioni polinomiali semplici non hanno asintoti orizzontali o obliqui.
La mia domanda è questa: è corretto il mio ragionamento o ho sbagliato qualcosa? Esistono altri tipi di funzioni che non hanno asintoti orizzontali o obliqui? E inoltre, se la funzione non ha un denominatore, è matematicamente lecito affermare direttamente che la funzione f(x) non ha asintoti orizzontali e obliqui perché è una cubica/polinomiale?
So che la mia domanda può risultare particolare, grazie comunque per l'attenzione!
Risposte
Parlando di funzioni polinomiali, il tuo ragionamento è corretto
se pensi alle condizioni per cui ci sono asintoti, è facile verificarlo per le funzioni razionali:
1) funzioni costanti: il grafico stesso può essere considerato impropriamente asintoto orizzontale;
2) funzioni lineari (polinomi di primo grado): il grafico stesso può essere considerato impropriamente asintoto obliquo;
3) funzioni intere di grado superiore al primo: il limite per $x-> +-oo$ sia della funzione (chiamiamola $f(x)$) sia di $(f(x))/x$, sono entrambi infiniti;
4) funzioni razionali fratte:
a) se il grado del numeratore è minore del grado del denominatore ... il limite ...
b) se il grado del numeratore è uguale al grado del denominatore ... il limite ...
c) se il grado del numeratore supera di $1$ il grado del denominatore $f(x)->oo$ ma $(f(x))/x$ no, è un numero finito diverso da zero, per cui c'è asintoto obliquo...
d) se il grado del numeratore è maggiore del grado del denominatore più uno, entrambi i limiti sono infiniti ...
5) funzioni irrazionali: ci sono casi particolari in cui ci sono asintoti, e il discorso è simile ai casi precedenti,anche se alcuni limiti sono meno banali da calcolare (mi riferisco in particolare a $q=lim_(x->oo) (f(x)-mx)$ per la determinazione dell'asintoto obliquo); N.B.: nota che in questo caso è possibile anche che il grado del numeratore sia maggiore del grado del denominatore ma minore del grado del denominatore più uno ...
6) funzioni trascendenti meritano un discorso a parte, ed è anche difficile generalizzare.
1) funzioni costanti: il grafico stesso può essere considerato impropriamente asintoto orizzontale;
2) funzioni lineari (polinomi di primo grado): il grafico stesso può essere considerato impropriamente asintoto obliquo;
3) funzioni intere di grado superiore al primo: il limite per $x-> +-oo$ sia della funzione (chiamiamola $f(x)$) sia di $(f(x))/x$, sono entrambi infiniti;
4) funzioni razionali fratte:
a) se il grado del numeratore è minore del grado del denominatore ... il limite ...
b) se il grado del numeratore è uguale al grado del denominatore ... il limite ...
c) se il grado del numeratore supera di $1$ il grado del denominatore $f(x)->oo$ ma $(f(x))/x$ no, è un numero finito diverso da zero, per cui c'è asintoto obliquo...
d) se il grado del numeratore è maggiore del grado del denominatore più uno, entrambi i limiti sono infiniti ...
5) funzioni irrazionali: ci sono casi particolari in cui ci sono asintoti, e il discorso è simile ai casi precedenti,anche se alcuni limiti sono meno banali da calcolare (mi riferisco in particolare a $q=lim_(x->oo) (f(x)-mx)$ per la determinazione dell'asintoto obliquo); N.B.: nota che in questo caso è possibile anche che il grado del numeratore sia maggiore del grado del denominatore ma minore del grado del denominatore più uno ...
6) funzioni trascendenti meritano un discorso a parte, ed è anche difficile generalizzare.
Ok, grazie mille a tutti!
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