Domanda sulle disposizioni con ripetizione.

[jellybean22]

Salve a tutti, dato che sto provando a fare da me il calcolo combinatorio in vista della seconda prova avrei una domanda:
Per quanto concerne le disposizioni con ripetizione di n oggetti di classe k, in generale, sono espresse con la formula $D_(n;k)=n^k$. Ma se io volessi calcolare le disposizioni considerando, per esempio, di n oggetti soltanto le ripetizioni di un oggetto, come dovrei procedere?

Grazie a tutti.

[giannirecanati]

Potresti specificare meglio la tua richiesta? Magari facendo un esempio.

[jellybean22]

Provo a spiegarmi meglio. Se per esempio volessi calcolare le disposizioni con ripetizione di 6 oggetti con k=3 dovrei fare $6^3$. Ma se io volessi calcolare le disposizioni con ripetizione, tenendo conto delle ripetizioni di solo uno o due o 3 degli oggetti sempre con k=3. Come dovrei procedere?

Grazie dell'aiuto.

[giannirecanati]

Forse ho capito.
Abbiamo sei cifre 1,2,3,4,5,6 voglio costruire tutti i numeri possibili di tre cifre sapendo che posso ripetere soltanto le cifre 1,2,3. Chiaramente: la prima cifra posso sceglierla in 6 modi, la seconda in 5 la terza in 4. Quindi il risultato è \(\displaystyle 6\cdot 5 \cdot 4=120 \) numeri diversi. E questo è un caso un po' particolare se ci pensi.

Questo è invece il caso che chiedevi nello specifico. Abbiamo sempre le solite sei cifre. Se invece i numeri sono di 5 cifre e si ripetono soltanto le cifre 1,2,3 facciamo così. La prima la scelgo sempre in 6 modi, la seconda in 5, la terza in 4, la quarta in 3 e la terza in 3, per il fatto che sono 3 le cifre che si ripetono.

La generalizzazione sarebbe questa: ho \(\displaystyle n \) oggetti quante classi di \(\displaystyle k \) elementi posso costruire se soltano \(\displaystyle m Sinceramente non saprei darti una forma chiusa, anche perché bisognerebbe distinguere più casi.
Continuo a pensarci mentre aspetto che qualcuno più esperto risponda.

[jellybean22]

Grazie mille della risposta, il primo passaggio penso di averlo capito

[giammaria2]

Ho solo una risposta parziale, e piuttosto brutta; ho considerato il caso in cui un solo numero (e diciamo sia 1) può ripetersi quante volte si vuole. Il mio ragionamento parte dalle combinazioni: se il numero 1 è ripetuto $r$ volte i rimanenti $n-1$ numeri sono scelti in $k-r$ modi, quindi le combinazioni possibili sono $((n-1),(k-r))$. Per passare alle disposizioni possibili devo moltiplicare per il numero di permutazioni con ripetizione, cioè per $(k!)/(r!)$; sommo poi le disposizioni con nessuno, uno, due, eccetera numeri 1 e ottengo

$((n-1),(k)) *(k!)/(0!) +((n-1),(k-1))*(k!)/(1!)+ ((n-1),(k-2))*(k!)/(2!)+ ...+((n-1),(0))*(k!)/(k!)$

Non riesco però a trovare una formula che migliori quella appena scritta; può anche darsi che non ci sia.

[hamming_burst]

Ma scusate qua non si parlerebbe dell'unione di due tipi differenti di combinazioni/disposizioni:
- la prima considera che un numero $r$ di oggetti può esse ripetuto (statistica con reimmissione)
- la seconda che considera la non possibilità di ripetizione ("statistica" senza reimmissione).

Considerando che gli oggetti sono ordinati e numerati perciò distinguibili.

Sia $r$ il numero di oggetti che possono essere ripetuti su $n$ contenitori allora si avrà $n^r$ combinazioni: Il numero di modi in cui gli $r$ oggetti possono essere assegnati ai $n$ contenitori.

Sia $k-r=g$ il numero di oggetti che non si possono ripetere su $n$ contenitori allora si avrà $n*(n-1)*(n-2) * ... * (n-g+1)$: disposizioni semplici di $g$ oggetti a gruppi di $n$ (su questa non esiste una forma chiusa se non passando per produttorie).

Perciò se non sbaglio dovrebbe essere una somma: $n^r + [n*(n-1)*(n-2) * ... * (n-g+1)]$

EDIT:
corretto errore.

[giannirecanati]

Io ci ho pensato e questo è quanto ne è venuto fuori.
Allora distinguo i casi in cui \(\displaystyle n-k+1>m \) e quando \(\displaystyle n-k+1
1)\(\displaystyle n-k+1>m \)
Innanzitutto è ovvio che devono comparire ben \(\displaystyle k \) fattori. In questo caso (analogo al primo esempio che ho fatto nel messaggio precedente) è semplice notare che la formula è la stessa delle disposizioni semplici cioè: \(\displaystyle D_{n,k}=\begin{matrix} \underbrace{ n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}_{k \text{fattori}} \end{matrix} \).

2) Invece se \(\displaystyle n-k+1 \(\displaystyle D_{n,k}=\begin{matrix} \underbrace{n(n-1)(n-2)\cdots m^{m-n+k} }_{k \text{fattori}} \end{matrix} \). Sono giunto a questa legge considerando dei casi concreti, quindi posso dare solo usa sottospecie di dimostrazione.

[hamming_burst]

#giannirecanati:
Devo dire di non averci ragionato chissà cosa ed ho utilizzato casi straconosciuto, ma non ti seguo. Perchè diversificare?

[giannirecanati]

Ho diversificato perchè se \(\displaystyle n-k+1>m \) si ha una situazione un po' particolare. Riprendo l'esempio che ho fatto sopra.

Abbiamo sei cifre 1,2,3,4,5,6 voglio costruire tutti i numeri possibili di 3 cifre sapendo che posso ripetere soltanto le cifre 1,2,3. Chiaramente: la prima cifra posso sceglierla in 6 modi, la seconda in 5 la terza in 4. Quindi il risultato è \(\displaystyle 6\cdot 5 \cdot 4=120 \) numeri diversi. In questo caso \(\displaystyle m

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