Domanda sulle derivate

[antony26]

Ciao a tutti, mi sono imbattuto in questa domanda sulle derivate:

-Illustrare il significato di derivata come tasso di variazione e le sue principali conseguenze.

Ora, il signifiato di derivata come tasso di variazione vuol dire che la derivata esprime come varia la variabile dipendente y al variare di quella indipendente y. E le conseguenze di questo fatto quali sono? Che la derivata si può applicare ad esempio in fisica per il calcolo dell'accelerazione o della velocità istantanea?

Grazie

[Steven11]

E le conseguenze di questo fatto quali sono? Che la derivata si può applicare ad esempio in fisica per il calcolo dell'accelerazione o della velocità istantanea?

Sì, questo è un esempio tra gli infiniti.

La derivata in [tex]$(x_0,y_0)$[/tex] ti dice cosa succede alla variabile indipendente "là vicino".
Cioè se mi sposto di poco con la $x$, cosa succede a lla $y$?

Quindi una derivata positiva molto alta significa che la funzione cresce e che se mi muovo di poco a destra, il valore di $y$ cresce anche molto. Ad esempio se ho
[tex]$y=1000x^3$[/tex], se faccio la derivata ho [tex]$y'=3000x^2$[/tex], vedi bene che in contesti normali quello può essere un valore elevato.
Infatti se ad esempio sono nel punto della curva
[tex]$(1,1000)$[/tex] e passo al punto di ascissa $2$, l'ordinata schizza a $8000$: anche con piccole variazioni di ascissa, ho grandi variazioni di ordinata.

Il caso della velocità e accelerazione è analogo.
Infatti per definizione [tex]$v'(t)=a(t)$[/tex]
Se ci pensi è in linea col discorso di prima: un accelerazione molto alta significa che il corpo acquista velocità molto rapidamente.
Cioè, anche in piccoli intervalli di tempo (variabile indipendente) ho un sensibile aumento della velocità (dipendente).

Tieni conto, per essere precisi, che il discorso di prima è per niente rigoroso e serve solo a "raccontare" un attimo la questione e a dare una spiegazione intuitiva. Non leggerlo come lo leggeresti magari da un libro.

Spero sia chiaro. Ciao!