Domanda sui gradienti
Ho visto un pò di roba sui gradienti su wikipedia e dice che il gradiente è un vettore del genere
$nablaf(x_1,x_2,...,x_n) = (((delf(x_1,x_2,...,x_n))/(delx_1)),((delf(x_1,x_2,...,x_n))/del(x_2)),...,((delf(x_1,x_2,...,x_n))/(delx_n)))$ che è un insieme di vettori che a seconda del suo modulo (che varia a seconda di x e di y) indica quando la funzione ha un incremento
ma tale incremento va pensato in valore assoluto vero?
Mega-X
$nablaf(x_1,x_2,...,x_n) = (((delf(x_1,x_2,...,x_n))/(delx_1)),((delf(x_1,x_2,...,x_n))/del(x_2)),...,((delf(x_1,x_2,...,x_n))/(delx_n)))$ che è un insieme di vettori che a seconda del suo modulo (che varia a seconda di x e di y) indica quando la funzione ha un incremento
ma tale incremento va pensato in valore assoluto vero?
Mega-X
Risposte
Il vettore gradiente ha come componenti i valori delle derivate parziali della funzione rispetto alle variabili indipendenti.
Nel caso più semplice di funzioni di due variabili le componenti sono le derivate parziali rispetto ad x e ad y cioè :
$nabla f(x,y)=(del f(x,y))/(delx) ; (delf(x,y))/(dely ))$.
Non sono i valori assoluti ma i valori che le derivate effettivamente assumono, positivi,nulli o negativi ed indicano nella direzione dell'asse cui si riferiscono la crescenza , stazionarietà o decrescenza della funzione .
Esempio $f(x,y)= x^2+3xy^3$ , allora $nabla f(x,y)=(2x+3y^3 ; 9xy^2)$ ; quindi nel punto $P(2,-1) $ il gradiente vale ( 1;18)$.
Nel caso più semplice di funzioni di due variabili le componenti sono le derivate parziali rispetto ad x e ad y cioè :
$nabla f(x,y)=(del f(x,y))/(delx) ; (delf(x,y))/(dely ))$.
Non sono i valori assoluti ma i valori che le derivate effettivamente assumono, positivi,nulli o negativi ed indicano nella direzione dell'asse cui si riferiscono la crescenza , stazionarietà o decrescenza della funzione .
Esempio $f(x,y)= x^2+3xy^3$ , allora $nabla f(x,y)=(2x+3y^3 ; 9xy^2)$ ; quindi nel punto $P(2,-1) $ il gradiente vale ( 1;18)$.
ecco e allora perché la funzione $z = x^2+y^2$ che ha come gradiente $((2x),(2y))$ risulta crescente (secondo il gradiente) per valori di $x,y > 0$ e decrescente per valori di $x,y <0$ se la $z$ è sempre crescente (vedendo la $z$)? (tranne che per $x = y = 0$ che è un minimo ovviamente)
Ecco il grafico
La funzione ha un minimo in $(0,0)$; per valori negativi di x e di y decresce e per valori positivi cresce.
La funzione ha un minimo in $(0,0)$; per valori negativi di x e di y decresce e per valori positivi cresce.
l'ho vista anche io in derive e ho visto la funzione..
però scusa ma la $x$ e la $y$ sono elevati alla seconda, quindi anche se $x$ e $y$ sono negativi, da loro escono numeri positivi, quindi perché è decrescente per numeri negativi?
però scusa ma la $x$ e la $y$ sono elevati alla seconda, quindi anche se $x$ e $y$ sono negativi, da loro escono numeri positivi, quindi perché è decrescente per numeri negativi?
"Mega-X":
l'ho vista anche io in derive e ho visto la funzione..
però scusa ma la $x$ e la $y$ sono elevati alla seconda, quindi anche se $x$ e $y$ sono negativi, da loro escono numeri positivi, quindi perché è decrescente per numeri negativi?
Per la stessa ragione per cui la funzione, mettendoci in una dimensione, $y = x^2 $ del tutto simile a quella in oggetto è crescente per $x > 0 $ e decrescente per $x <0 $ ed ha anche lei minimo in $x = 0 $.
Infatti per $x< 0 $ la derivata $2x $ è negativa e quindi la funzione è decrescente mentre per $x >0 $ la derivata è positiva e e quindi la funzione crescente .
OK ?
hmm già, dovevo tenere a mente la definizione RIGOROSA di funzione crescente e decrescente..
infatti se $x_0 < x_1 -> f(x_0) < f(x_1)$ la funzione è crescente
ma se prendiamo $-3 < -2$ non accade che $(-3)^2 < (-2)^2 = 9 < 4$ bensì $(-2)^2 < (-3)^2$ (stessa cosa dicasi per $z = x^2+y^2$
Grazie Camillo..
Mega-X
infatti se $x_0 < x_1 -> f(x_0) < f(x_1)$ la funzione è crescente
ma se prendiamo $-3 < -2$ non accade che $(-3)^2 < (-2)^2 = 9 < 4$ bensì $(-2)^2 < (-3)^2$ (stessa cosa dicasi per $z = x^2+y^2$
Grazie Camillo..
Mega-X
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