Domanda su media aritmetica e media geometrica

[DagoC]

Si consideri la seguente proposizione: "La media aritmetica di 2 numeri reali positivi, comunque scelt, è maggiore della loro media geometrica".Dire se è vera o falsa e motivare la risposta.

??
Che cos'è una MA e MG??

Grazie x l'aiuto

[Cheguevilla]

Definiamo "intensità" i valori di cui vogliamo calcolare la media.
Cioè, $x_{1}, x_{2}, .... , x_{n}$
La media aritmetica è quel valore che, sostituito alle intensità, ne lascia invariata la somma.
La media geometrica è quel valore che, sostituito alle intensità, ne lascia invariato il prodotto.
Cioè:
Media aritmetica: abbiamo $n$ intensità. Cerchiamo quel valore costante che sostiutito alle intensità ne lasci invarirata la somma:
$x_{1}+x_{2}+ ... +x_{n}=kM(X)$
Quindi:
$sum_(i=1)^nx_{i}=M(X)n$
$sum_(i=1)^n(x_{i}/n)=M(X)$ oppure $1/nsum_(i=1)^nx_{i}=M(X)$
Media geometrica: abbiamo sempre $n$ intensità. Cerchiamo quel valore costante che sostituito alle intensità ne lasci invariato il prodotto:
$x_{1}*x_{2}* ... *x_{n}=kMg(X)$
$nsqrt(prod_(i=1)^nx_{i})=Mg(X)$


Comunque, avendo a che fare solo con due numeri, si può ridurre tutto a questo:
Media aritmetica = $(a+b)/2$
Media geometrica = $sqrt(ab)$
Sulla domanda, ti lascio riflettere un po', ma non è difficile...

[giuseppe87x]

Voglio aggiungere una cosa.
Data una n-upla $(a_(1), a_(2),...a_(n))$, dicesi media aritmetica $AM$ l'operazione così definità:
$AM=(a_(1)+a_(2)+...+a_(n))/n$
si dice invece media geometrica $GM$ l'operazione:
$GM=rootn(a_(1)*a_(2)*...*a_(n))
In generale si ha $GM<=AM$
Dimostriamo il caso, semplice, per $n=2$.
Siano $a, b in RR$
allora sicuramente sarà:
$(sqrta-sqrtb)^2>=0$
$a+b>=2sqrt(a*b)$
$(a+b)/2>=sqrt(a*b)$
Ricorda che in generale vale:
$min(a_(1),...,a_(n))<=HM<=GM<=AM<=QM<=CM<=max(a_(1),...,a_(n))$
dove: HM è la media armonica, QM è la media quadratica e CM è la media cubica.

Ciao

[Cheguevilla]

Si Giuseppe, è la stessa cosa che ho scritto io usando il simbolo di sommatoria.
In statistica si usa solo quella notazione.
Per quanto riguarda

"giuseppe87x":Ricorda che in generale vale:
$min(a_(1),...,a_(n))<=HM<=GM<=AM<=QM<=CM<=max(a_(1),...,a_(n))$
dove: HM è la media armonica, QM è la media quadratica e CM è la media cubica.

La dimostrazione (che conosco io) richiede la conoscenza del concetto di medie potenziate, e non è comunque banale, poichè passa attraverso la disuguaglianza di Cauchy-Schwartz e altri passaggi delicati.
Se volete se ne può parlare, ma io questa l'ho vista all'università.
Mentre, per dimostrare la condizione di internalità di Cauchy, le cose sono un po' più semplici, ma bisogna utilizzare il concetto di momento.

[giuseppe87x]

Si, è vero, è necessaria la disuguaglianza di Cauchy-Schwartz. Io l'ho scritto solo così per ampliare un pò l'argomento...
Ciao