Domanda semplice,ma x me moolto importante! mi serve x la maturita'..
Ditemi TUTTI i passaggi,x me e' davvero importante capirli al meglio:)
y=x/x^2-16
1)calcola insieme di esistenza
2)studio del segno
3)determina le equazioni di eventuali asintoti
4)determina gli intervalli(crescenza o decrescenza)
5)determina eventuali massimi e minimi relativi
6)analizza la sua concavita'
grazie..
y=x/x^2-16
1)calcola insieme di esistenza
2)studio del segno
3)determina le equazioni di eventuali asintoti
4)determina gli intervalli(crescenza o decrescenza)
5)determina eventuali massimi e minimi relativi
6)analizza la sua concavita'
grazie..
Risposte
XY PIUXDIVISO Y
Mi sembrava di averti risposto già ieri, dove ti avevo segnalato dei link per il ripasso dell'analisi di una funzione dove era spiegato passo passo...
... ma forse non ti era piaciuto.
Comunque, vediamo se posso esserti d'aiuto:
1)
Il campo di esistenza di una funzione fratta è per ogni x che non annulli il denominatore.
Quindi dobbiamo porre la condizione
Cerchiamo quindi le radici dell'equazione, e questi saranno i nostri valori di x che annullano il denominatore e che determineranno il notro campo di esistenza.
Quindi il nostro campo di esistenza sarà per ogni x appartenente all'insieme dei numeri reali eslcusi x=-4 e x=+4
Aggiunto 18 minuti più tardi:
2)
Per studiare il segno della funzione consideriamo la stessa scritta in questo modo:
Una funzione fratta è positiva se numeratore e denominatore sono entrambi positivi o entrambi negativi.
Il numeratore è positivo per x>0 e negativo per x0 per x>4 e (x-4)-4 e (x+4)
... ma forse non ti era piaciuto.
Comunque, vediamo se posso esserti d'aiuto:
1)
Il campo di esistenza di una funzione fratta è per ogni x che non annulli il denominatore.
Quindi dobbiamo porre la condizione
[math] x^2-16\no=0 [/math]
Cerchiamo quindi le radici dell'equazione, e questi saranno i nostri valori di x che annullano il denominatore e che determineranno il notro campo di esistenza.
[math] x^2-16=0 [/math]
[math] x^2=16 [/math]
[math] x_{1,2}=\sqrt{16}=\pm4 [/math]
Quindi il nostro campo di esistenza sarà per ogni x appartenente all'insieme dei numeri reali eslcusi x=-4 e x=+4
Aggiunto 18 minuti più tardi:
2)
Per studiare il segno della funzione consideriamo la stessa scritta in questo modo:
[math] \frac{x}{(x+4)(x-4)} [/math]
Una funzione fratta è positiva se numeratore e denominatore sono entrambi positivi o entrambi negativi.
Il numeratore è positivo per x>0 e negativo per x0 per x>4 e (x-4)-4 e (x+4)
Ok,lo studio del campo IE e lo studio del segno li ho capiti,ma gli altri punti?
un attimo di pazienza, li sto sviluppando un alla volta...
... scusami se non sono veloce.
Aggiunto 18 minuti più tardi:
3)
Cerchiamo se nei due punti dove la funzione non esiste se è presente un asintoto verticale, e cioè verifichiamo se:
e
Entrambi questi limiti sono veri, infatti:
e lo stesso vale per la seconda solo che al numeratore abbiamo -4
Vediamo adesso che segno assume l'infinito nell'intorno dei due valori:
Il primo membro del prodotto al denominatore tenderà a zero per valori negativi (tendiamo a 4 per valori un po' minori di 4), quindi il prodotto al denominatore è negativo e il limite tenderà a
Invece
Per il ragionamento analogo al precedente, il primo membro del prodotto al denominatore, adesso tenderà a zero per valori positivi, quindi il prodotto al denominatore è positivo e il limite tenderà a
A questo punto il discorso vale anche per il limite a -4, per cui ti riporto solo il risultato dei limiti perchè il ragionamento da fare è il medesimo:
Quindi la funzione presenta due asintoti verticali:
x = -4 e x = +4
Vediamo adesso se presenta asitoti orizzontali, e cioè se il limite della funzione per x che tende all'infinito è un numero determinato:
E' una forma indeterminata però, essendo il denominatore di grado superiore al numeratore, il nostro limite diventa:
La nostra funzione presenta anche un asintoto orizzontale che, in pratica, corrisponde con l'asse delle ascisse.
Aggiunto 6 minuti più tardi:
4)
Non ho capito cosa vuoi sapere, forse si riferiva al segno che si deve dare a
Se è così te l'ho spiegato il punto precedente.
Aggiunto 20 minuti più tardi:
5)
Per vedere se ci sono massimi o minimi calcoliamo la derivata prima della funzione.
In base alle regole di derivazione abbiamo che:
Per vedere se esistono massimi e minimi dobbiamo vedere in che punti la derivata appena calcolata si annulla, per cui poniamo:
Una funzione fratta è uguale a zero se lo è il denominatore, per cui
L'equazione non ha soluzioni nel campo reale, per cui non esistono punti di massimo o minimo.
Potevamo aspettarcelo visto che abbiamo trovato che questa funzione presenta due asintoti verticali.
Aggiunto 53 minuti più tardi:
6)
Per determinare le concavità calcoliamo la derivata seconda (scusami ma qui mi sono avvalso di un calcolatore online perchè mi ero perso nei passaggi di semplificazione... :lol)
Per trovare le concavità poniamo la derivata seconda uguale a zero, quindi il numeratore della stessa uguale a zero:
e cioè
Scriviamo la derivata seconda in questo modo:
e studiamone il segno nei diversi intervalli identificabili dalle summenzionate soluzioni:
x <
Tutti e tre i termini sono negativi, quindi il prodotto risulterà negativo, di conseguenza avremo una concavità negativa
Il primo e il secondo termine sono negativi, mentre il terzo è positivo, quindi il prodotto sarà positivo, di conseguenza avremo una concavità positiva
0 < x <
Il primo termine è positivo, il secondo è negativo e il terzo è positivo, quindi il prodotto sarà negativo, di conseguenza avremo una concavità negativa
x >
Tutti i termini sono positivi, quindi il prodotto sarà positivo, di conseguenza avremo una concavità positiva
Finito.
Se vuoi vedere l'andamento grafico della tua funzione guarda qui:
x/(x^2-16)
Spero di aver fatto tutto bene...
:hi
Massimiliano
... scusami se non sono veloce.
Aggiunto 18 minuti più tardi:
3)
Cerchiamo se nei due punti dove la funzione non esiste se è presente un asintoto verticale, e cioè verifichiamo se:
[math] \lim_{x\to4}\frac{x}{x^2-16}=\infty [/math]
e
[math] \lim_{x\to-4}\frac{x}{x^2-16}=\infty [/math]
Entrambi questi limiti sono veri, infatti:
[math] \lim_{x\to4}\frac{x}{x^2-16}=\infty [/math]
[math] \frac{4}{0}=\infty [/math]
e lo stesso vale per la seconda solo che al numeratore abbiamo -4
Vediamo adesso che segno assume l'infinito nell'intorno dei due valori:
[math] \lim_{x\to{}_-\!4}\frac{x}{(x-4)(x+4)} [/math]
Il primo membro del prodotto al denominatore tenderà a zero per valori negativi (tendiamo a 4 per valori un po' minori di 4), quindi il prodotto al denominatore è negativo e il limite tenderà a
[math] -\infty [/math]
Invece
[math] \lim_{x\to{}_+\!4}\frac{x}{(x-4)(x+4)} [/math]
Per il ragionamento analogo al precedente, il primo membro del prodotto al denominatore, adesso tenderà a zero per valori positivi, quindi il prodotto al denominatore è positivo e il limite tenderà a
[math] +\infty [/math]
A questo punto il discorso vale anche per il limite a -4, per cui ti riporto solo il risultato dei limiti perchè il ragionamento da fare è il medesimo:
[math] \lim_{x\to{}_-\!-4}\frac{x}{(x-4)(x+4)}=-\infty [/math]
[math] \lim_{x\to{}_+\!-4}\frac{x}{(x-4)(x+4)}=+\infty [/math]
Quindi la funzione presenta due asintoti verticali:
x = -4 e x = +4
Vediamo adesso se presenta asitoti orizzontali, e cioè se il limite della funzione per x che tende all'infinito è un numero determinato:
[math] \lim_{x\to\infty}\frac{x}{x^2-16}=\frac {\infty}{\infty} [/math]
E' una forma indeterminata però, essendo il denominatore di grado superiore al numeratore, il nostro limite diventa:
[math] \lim_{x\to\infty}\frac{x}{x^2-16}=\frac {\infty}{\infty}=0 [/math]
La nostra funzione presenta anche un asintoto orizzontale che, in pratica, corrisponde con l'asse delle ascisse.
Aggiunto 6 minuti più tardi:
4)
Non ho capito cosa vuoi sapere, forse si riferiva al segno che si deve dare a
[math] \infty [/math]
nell'intorno degli asintoti verticali?Se è così te l'ho spiegato il punto precedente.
Aggiunto 20 minuti più tardi:
5)
Per vedere se ci sono massimi o minimi calcoliamo la derivata prima della funzione.
In base alle regole di derivazione abbiamo che:
[math] d(x)=\frac{1(x^2-16)-x(2x)}{(x^2-16)^2} [/math]
[math] d(x)=\frac{x^2-16-2x^2}{(x^2-16)^2} [/math]
[math] d(x)=\frac{-x^2-16}{(x^2-16)^2} [/math]
[math] d(x)=-\frac{x^2+16}{(x^2-16)^2} [/math]
Per vedere se esistono massimi e minimi dobbiamo vedere in che punti la derivata appena calcolata si annulla, per cui poniamo:
[math] d(x)=-\frac{x^2+16}{(x^2-16)^2}=0 [/math]
Una funzione fratta è uguale a zero se lo è il denominatore, per cui
[math] x^2+16=0 [/math]
[math] x=\sqrt{-16} [/math]
L'equazione non ha soluzioni nel campo reale, per cui non esistono punti di massimo o minimo.
Potevamo aspettarcelo visto che abbiamo trovato che questa funzione presenta due asintoti verticali.
Aggiunto 53 minuti più tardi:
6)
Per determinare le concavità calcoliamo la derivata seconda (scusami ma qui mi sono avvalso di un calcolatore online perchè mi ero perso nei passaggi di semplificazione... :lol)
[math] d'' (x) =\frac {2x(x^2-48 )}{(x-4)^3 x+4)^3} [/math]
Per trovare le concavità poniamo la derivata seconda uguale a zero, quindi il numeratore della stessa uguale a zero:
[math] 2x(x^2-48 ) = 0 [/math]
e cioè
[math] x_1 = 0 [/math]
[math] x_{2,3} = \pm \sqrt{48} [/math]
Scriviamo la derivata seconda in questo modo:
[math] 2x(x-\sqrt{48})(x+\sqrt{48}) [/math]
e studiamone il segno nei diversi intervalli identificabili dalle summenzionate soluzioni:
x <
[math] -\sqrt{48} [/math]
:Tutti e tre i termini sono negativi, quindi il prodotto risulterà negativo, di conseguenza avremo una concavità negativa
[math] -\sqrt {48} [/math]
< x < 0:Il primo e il secondo termine sono negativi, mentre il terzo è positivo, quindi il prodotto sarà positivo, di conseguenza avremo una concavità positiva
0 < x <
[math] \sqrt{48} [/math]
:Il primo termine è positivo, il secondo è negativo e il terzo è positivo, quindi il prodotto sarà negativo, di conseguenza avremo una concavità negativa
x >
[math] \sqrt{48} [/math]
:Tutti i termini sono positivi, quindi il prodotto sarà positivo, di conseguenza avremo una concavità positiva
Finito.
Se vuoi vedere l'andamento grafico della tua funzione guarda qui:
x/(x^2-16)
Spero di aver fatto tutto bene...
:hi
Massimiliano
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