Domanda semplice sui radicali
La domanda che faccio è semplicissima:
\(\displaystyle (-5)^\frac{4}{3} \) è uguale ad \(\displaystyle \sqrt[3]{(-5)^4} \) oppure ad \(\displaystyle (\sqrt[3]{-5})^4 \) ?
Credo che la risposta giusta sia la prima ovvero \(\displaystyle \sqrt[3]{(-5)^4} \), ma non saprei bene come spiegarlo. Potete darmi un suggerimento?
\(\displaystyle (-5)^\frac{4}{3} \) è uguale ad \(\displaystyle \sqrt[3]{(-5)^4} \) oppure ad \(\displaystyle (\sqrt[3]{-5})^4 \) ?
Credo che la risposta giusta sia la prima ovvero \(\displaystyle \sqrt[3]{(-5)^4} \), ma non saprei bene come spiegarlo. Potete darmi un suggerimento?
Risposte
L'ultima è la scrittura corretta... non c'è nessuna ragione particolare, semplice proprietà degli esponenti.
edit: intendevo dire questa (−5)4−−−−−√3, è la scrittura corretta.
edit: intendevo dire questa (−5)4−−−−−√3, è la scrittura corretta.
Si, ma per le proprietà dei radicali entrambe le scritture sono corrette.
Le risposte sono entrambe corrette.
Dando uno sguardo più preciso alla teoria ho scoperto che la risposta esatta alla domanda è: la potenza non è definita. Infatti le potenze con esponente frazionario sono possibili solo se la base è non negativa 
.
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Ciao.
$root(3)((-5))^4$ se elevo tutto al cubo ottengo $(root(3)((-5))^4)^3$ che è uguale a $(-5)^4$
$(-5)^(4/3)$ se elevo al cubo ottengo $((-5)^(4/3))^3$ che per la proprietà delle potenze è uguale a $(-5)^(4/3*3)$ cioè $(-5)^4$
Perciò $(-5)^(4/3)=root(3)((-5))^4$ e non a $(root(3)((-5)))^4$
Infatti $root(3)((-5))^4$ è diversa da $(root(3)((-5)))^4$ perchè nel primo caso elevi (-5) alla quarta potenza e poi ne calcoli la radice cubica mentre nel secondo caso prima calcoli la radice cubica di (-5) e poi elevi alla quarta il risultato.
La soluzione finale è $5root(3)(5)$
Spero di esserti stato utile.
$root(3)((-5))^4$ se elevo tutto al cubo ottengo $(root(3)((-5))^4)^3$ che è uguale a $(-5)^4$
$(-5)^(4/3)$ se elevo al cubo ottengo $((-5)^(4/3))^3$ che per la proprietà delle potenze è uguale a $(-5)^(4/3*3)$ cioè $(-5)^4$
Perciò $(-5)^(4/3)=root(3)((-5))^4$ e non a $(root(3)((-5)))^4$
Infatti $root(3)((-5))^4$ è diversa da $(root(3)((-5)))^4$ perchè nel primo caso elevi (-5) alla quarta potenza e poi ne calcoli la radice cubica mentre nel secondo caso prima calcoli la radice cubica di (-5) e poi elevi alla quarta il risultato.
La soluzione finale è $5root(3)(5)$
Spero di esserti stato utile.
Ciao ratava, vedo che scrivi uno dei tuoi primi messaggi sul forum e quindi benvenuto! 
Comunque il mio libro, quello della zanichelli, riporta questa definizione:
Potenza con esponente razionale
La potenza con esponente razionale \(\displaystyle \frac{m}{n}\) di un numero reale \(\displaystyle a \), positivo o nullo, è la radice n-esima di \(\displaystyle a^m \) .
\(\displaystyle (-5)^{\frac{4}{3}} \) non ha significato perchè nella definizione sono escluse le potenze di numeri negativi.
A quanto pare queste restrizioni vengono poste per non cadere in assurdi matematici.
Wiki conferma : http://it.wikipedia.org/wiki/Potenza_(matematica).
Comunque il mio libro, quello della zanichelli, riporta questa definizione:
Potenza con esponente razionale
La potenza con esponente razionale \(\displaystyle \frac{m}{n}\) di un numero reale \(\displaystyle a \), positivo o nullo, è la radice n-esima di \(\displaystyle a^m \) .
\(\displaystyle (-5)^{\frac{4}{3}} \) non ha significato perchè nella definizione sono escluse le potenze di numeri negativi.
A quanto pare queste restrizioni vengono poste per non cadere in assurdi matematici.
Wiki conferma
: http://it.wikipedia.org/wiki/Potenza_(matematica).
"ratava":
Ciao.
$root(3)((-5))^4$ se elevo tutto al cubo ottengo $(root(3)((-5))^4)^3$ che è uguale a $(-5)^4$
$(-5)^(4/3)$ se elevo al cubo ottengo $((-5)^(4/3))^3$ che per la proprietà delle potenze è uguale a $(-5)^(4/3*3)$ cioè $(-5)^4$
Perciò $(-5)^(4/3)=root(3)((-5))^4$ e non a $(root(3)((-5)))^4$
Infatti $root(3)((-5))^4$ è diversa da $(root(3)((-5)))^4$ perchè nel primo caso elevi (-5) alla quarta potenza e poi ne calcoli la radice cubica mentre nel secondo caso prima calcoli la radice cubica di (-5) e poi elevi alla quarta il risultato.
La soluzione finale è $5root(3)(5)$
Spero di esserti stato utile.
No, le due espressioni sono uguali.
Prendiamo $root(3)((-5)^4)$. Essa di può scrivere anche come $((-5)^4)^(1/3) -> (-5)^(4/3)$. Consideriamo ora $(root(3)((-5)))^4$. Si può scrivere come $((-5)^(1/3))^4 -> (-5)^(4/3)$. Siccome entrambe le espressioni sono uguali a $(-5)^(4/3)$, allora sono uguali tra loro.
"giannirecanati":
Ciao ratava, vedo che scrivi uno dei tuoi primi messaggi sul forum e quindi benvenuto!
Comunque il mio libro, quello della zanichelli, riporta questa definizione:
Potenza con esponente razionale
La potenza con esponente razionale \(\displaystyle \frac{m}{n}\) di un numero reale \(\displaystyle a \), positivo o nullo, è la radice n-esima di \(\displaystyle a^m \) .
\(\displaystyle (-5)^{\frac{4}{3}} \) non ha significato perchè nella definizione sono escluse le potenze di numeri negativi.
A quanto pare queste restrizioni vengono poste per non cadere in assurdi matematici.
Wiki conferma
Invece $(-5)^(4/3)$ ha certamente senso. Ed è spiegato anche nella pagina che hai linkato
Siccome è presente una radice con indice dispari, allora essa è sempre definita.
Oh, è vero! Che sbadato, non lo so ma ho considerato un altro esponente: \(\displaystyle -\frac{4}{3} \) e non \(\displaystyle \frac{4}{3} \) . Grazie mille per gli aiuti!
Scusate, sì è vero i due radicali sono equivalenti. 
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
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