Domanda risoluzione secondo grado
Ho un dubbio che mi tormenta e vorrei cercare un aiuto.
Mi sono impasticciato sul seguente dubbio: assumo $x^2=4$ e poi mi dico prendiamo a sua volta $y^2=x^2$ è evidente che sostituendo $y^2=4$ e quindi le soluzioni sono $x=+-2$ e $y=+-2$
Ora, complichiamoci la vita, e vorrei capire se il ragionamento che faccio è giusto o meno:
assumo $y^2=x^2$ e quindi $y=+-x$ ma sappiamo che x può valere $x=+-2$
a) se prendo $y=+x$ nascosto in x c'è il doppio valore che risolve l'equazione quindi $y=+x=+-2$
b) tuttavia tecnicamente dovrei anche considerare il caso $y=-x$ e so che x vale (cioè è risolta sia per) $+-2$ quindi $y=-x=-(+-2)$. A questo punto posso affermare che $y=-+2$
Tuttavia a e b sono ridondanti quindi non faccio nessun danno se ragiono solo con caso a), voglio dire $y=x$ tanto $x=+-2$ racchiude già la soluzione voluta.
Ma è corretto?
Mi sono impasticciato sul seguente dubbio: assumo $x^2=4$ e poi mi dico prendiamo a sua volta $y^2=x^2$ è evidente che sostituendo $y^2=4$ e quindi le soluzioni sono $x=+-2$ e $y=+-2$
Ora, complichiamoci la vita, e vorrei capire se il ragionamento che faccio è giusto o meno:
assumo $y^2=x^2$ e quindi $y=+-x$ ma sappiamo che x può valere $x=+-2$
a) se prendo $y=+x$ nascosto in x c'è il doppio valore che risolve l'equazione quindi $y=+x=+-2$
b) tuttavia tecnicamente dovrei anche considerare il caso $y=-x$ e so che x vale (cioè è risolta sia per) $+-2$ quindi $y=-x=-(+-2)$. A questo punto posso affermare che $y=-+2$
Tuttavia a e b sono ridondanti quindi non faccio nessun danno se ragiono solo con caso a), voglio dire $y=x$ tanto $x=+-2$ racchiude già la soluzione voluta.
Ma è corretto?
Risposte
Se hai due incognite $x$ e $y$, le soluzioni non sono i singoli valori di ciascuna, ma le coppie soluzione
Quindi
$\{(x = 2),(y = 2):}$ e $\{(x = -2),(y = -2):}$ che fanno entrambe riferimento a $y=x$
e
$\{(x = 2),(y = -2):}$ e $\{(x = -2),(y = 2):}$ che fanno entrambe riferimento a $y= -x$
Quindi
$\{(x = 2),(y = 2):}$ e $\{(x = -2),(y = -2):}$ che fanno entrambe riferimento a $y=x$
e
$\{(x = 2),(y = -2):}$ e $\{(x = -2),(y = 2):}$ che fanno entrambe riferimento a $y= -x$
Forse mi sono spiegato o forse non ti ho capito.
La mia domanda voleva essere, se assumo $y^2=x^2=4$ ad esempio è evidente che le soluzioni sono $x=+-2$ e $y=+-2$.
però poi volevo provare a risolvere "per pezzi" e considerare $y^2=x^2$ e quindi $y=+-x$ ma sappiamo che x può valere $x=+-2$ (dalla: $x^2=4$)
E quindi distinguevo i casi a e b
Spero di aver spiegato meglio
e grazie!
La mia domanda voleva essere, se assumo $y^2=x^2=4$ ad esempio è evidente che le soluzioni sono $x=+-2$ e $y=+-2$.
però poi volevo provare a risolvere "per pezzi" e considerare $y^2=x^2$ e quindi $y=+-x$ ma sappiamo che x può valere $x=+-2$ (dalla: $x^2=4$)
E quindi distinguevo i casi a e b
Spero di aver spiegato meglio
e grazie!
O forse sto prendendo un granchio?
perché $y^2=x^2=4$ se la spezzo avrei:
$y^2=x^2$ e $x^2=4$, riscolvendo la prima delle due forse ho fatto un errore nel messaggio che deve ancora essere approvato, correggimi se sbaglio:
$y^2=x^2$ vuol dire che $y=+-sqrt(x^2)=+-|x|$ prima non avevo messo il modulo era un errore (?)
quindi ho $y=+-|x|$ ma dalla $x^2=4$ so che $x=+-2$, quindi: $y=+-|x|=+-|+-2|=+-2$?
Scusa se ho scritto due messaggi ma mi è venuto in mente dopo il possibile errore. Vorrei capire se il primo modo era scorretto e se questo è giusto o il contrario .
Grazie davvero
perché $y^2=x^2=4$ se la spezzo avrei:
$y^2=x^2$ e $x^2=4$, riscolvendo la prima delle due forse ho fatto un errore nel messaggio che deve ancora essere approvato, correggimi se sbaglio:
$y^2=x^2$ vuol dire che $y=+-sqrt(x^2)=+-|x|$ prima non avevo messo il modulo era un errore (?)
quindi ho $y=+-|x|$ ma dalla $x^2=4$ so che $x=+-2$, quindi: $y=+-|x|=+-|+-2|=+-2$?
Scusa se ho scritto due messaggi ma mi è venuto in mente dopo il possibile errore. Vorrei capire se il primo modo era scorretto e se questo è giusto o il contrario .
Grazie davvero
Hai una sola incognita o sono due? Se sono due le soluzioni NON sono i singoli valori, ma le COPPIE di valori. Non ha senso scrivere $x= +-2$ e $y= +-2$, devi combinare le coppie, quindi le soluzioni sono 4
$(2; 2)$, $(2; -2)$, $(-2; 2)$, $(-2; -2)$.
$(2; 2)$, $(2; -2)$, $(-2; 2)$, $(-2; -2)$.
Grazie ancora, devo dire che in realtà non è un esercizio quindi non è che abbia davvero un qualcosa da risolvere, però mi sono posto una domanda da cui non riesco bene a uscire.
vado per passi
1) La mia intenzione era questa: io so che quando risolvo una eq. di secondo grado tipo $x^2=4$ sfruttando il metodo per questo tipo di equazioni arrivo a $x=+-2$
2) Allora poi ho fatto un passo avanti e mi sono detto "ma che succede se provo a considerare il caso $y^2=x^2$?" e mi sono risposto dicendo beh tratto x come fosse il 4 di prima e quindi vale ancora il metodo risolutivo sarà: $y=+-x$, poi mi sono accorto però che il metodo risolutivo richiede di risolvere $y=+-sqrt(x^2)$ e ciò vuol dire scrivere $y=+-|x|$ ma di fatto non sbaglio anche a scrivere $y=+-x$ (ho visto graficamente su wolfram che sono due scritture equivalenti di fatto) fin qui mi pare di esserci.
3) Poi mi sono detto ma se io voglio risolvere $y^2=x^2=4$ che poi sarebbe il sistema di queste due equazioni:
$y^2=x^2$
$x^2=4$
Cosa accade?
la mia idea era che $y^2=4=x^2$ vuol dire che $x=+-2$ ma anche $y=+-2$ come soluzione perché di fatto sono la stessa equazione, solo con due nomi dati alle incognite in modo diverso. sbaglio?
4)Allora mi sono detto ok questo è ciò che volgio raggiungere anche risolvendo prima $y^2=x^2$ e sostituiendoci il valore che trovo da $x^2=4$ di fatto dovrebbe tornare (come nel sistema).
Ora, $y^2=x^2$ mi dice che $y=+-x=+-|x|$ mentre $x^2=4 -> x=+-2$ e quindi sostituivo il $+-2$ in questa: $y=+-x=+-|x|$ e trovo sempre che $y=+-2$
Spero di aver fatto capire meglio i dubbi per aiutarti ad aiutarmi
Mercì
vado per passi
1) La mia intenzione era questa: io so che quando risolvo una eq. di secondo grado tipo $x^2=4$ sfruttando il metodo per questo tipo di equazioni arrivo a $x=+-2$
2) Allora poi ho fatto un passo avanti e mi sono detto "ma che succede se provo a considerare il caso $y^2=x^2$?" e mi sono risposto dicendo beh tratto x come fosse il 4 di prima e quindi vale ancora il metodo risolutivo sarà: $y=+-x$, poi mi sono accorto però che il metodo risolutivo richiede di risolvere $y=+-sqrt(x^2)$ e ciò vuol dire scrivere $y=+-|x|$ ma di fatto non sbaglio anche a scrivere $y=+-x$ (ho visto graficamente su wolfram che sono due scritture equivalenti di fatto) fin qui mi pare di esserci.
3) Poi mi sono detto ma se io voglio risolvere $y^2=x^2=4$ che poi sarebbe il sistema di queste due equazioni:
$y^2=x^2$
$x^2=4$
Cosa accade?
la mia idea era che $y^2=4=x^2$ vuol dire che $x=+-2$ ma anche $y=+-2$ come soluzione perché di fatto sono la stessa equazione, solo con due nomi dati alle incognite in modo diverso. sbaglio?
4)Allora mi sono detto ok questo è ciò che volgio raggiungere anche risolvendo prima $y^2=x^2$ e sostituiendoci il valore che trovo da $x^2=4$ di fatto dovrebbe tornare (come nel sistema).
Ora, $y^2=x^2$ mi dice che $y=+-x=+-|x|$ mentre $x^2=4 -> x=+-2$ e quindi sostituivo il $+-2$ in questa: $y=+-x=+-|x|$ e trovo sempre che $y=+-2$
Spero di aver fatto capire meglio i dubbi per aiutarti ad aiutarmi
Mercì
Prova così:
$y^2-x^2=(y-x)(y+x)=0$
Le soluzioni stanno sulle due rette bisettrici
$y^2-x^2=(y-x)(y+x)=0$
Le soluzioni stanno sulle due rette bisettrici
Ciao, grazie per la risposta. Ti dirò che ormai quello mi è abbastanza chiaro, ma non riesco bene a comprendere come farlo tornare (se vogliamo farlo quadrate) riguardo l'ultima parte del mio precedente post:
In teoria anche così dovrebbe funzionare no?
"ippocampus":
3) Poi mi sono detto ma se io voglio risolvere $y^2=x^2=4$ che poi sarebbe il sistema di queste due equazioni:
$y^2=x^2$
$x^2=4$
Cosa accade?
la mia idea era che $y^2=4=x^2$ vuol dire che $x=+-2$ ma anche $y=+-2$ come soluzione perché di fatto sono la stessa equazione, solo con due nomi dati alle incognite in modo diverso. sbaglio?
4)Allora mi sono detto ok questo è ciò che volgio raggiungere anche risolvendo prima $y^2=x^2$ e sostituiendoci il valore che trovo da $x^2=4$ di fatto dovrebbe tornare (come nel sistema).
Ora, $y^2=x^2$ mi dice che $y=+-x=+-|x|$ mentre $x^2=4 -> x=+-2$ e quindi sostituivo il $+-2$ in questa: $y=+-x=+-|x|$ e trovo sempre che $y=+-2$
Mercì
In teoria anche così dovrebbe funzionare no?
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