Domanda integrali
Indica quale delle seguenti affermazioni è falsa:
1) se una funzione è discontinua in qualche punto di un intervallo $[a;b]$, allora non è integrabile in $[a;b]$.
2) se una funzione è continua in $[a;b]$, allora è integrabile in $[a;b]$
3) se una funzione è derivabile in $[a;b]$, allora è integrabile in $[a;b]$
4) le primitive di una funzione sono funzioni continue;
5) se una funzione è sempre negativa in un intervallo $[a;b]$, allora ogni sua primitiva è una funzione decrescente in $[a;b]$.
La seconda, la terza e la quinta dovrebbero essere vere.
So che, per la condizione sufficiente di integrabilità, se una funzione è continua in $[a;b]$, allora è integrabile in $[a;b]$; il mio libro però non dice che la condizione debba anche essere necessaria, quindi sarei tentato di rispondere che l'affermazione 1 è falsa. Tuttavia non ne sono certo, e ragionandoci su non riesco a venirne a capo.
1) se una funzione è discontinua in qualche punto di un intervallo $[a;b]$, allora non è integrabile in $[a;b]$.
2) se una funzione è continua in $[a;b]$, allora è integrabile in $[a;b]$
3) se una funzione è derivabile in $[a;b]$, allora è integrabile in $[a;b]$
4) le primitive di una funzione sono funzioni continue;
5) se una funzione è sempre negativa in un intervallo $[a;b]$, allora ogni sua primitiva è una funzione decrescente in $[a;b]$.
La seconda, la terza e la quinta dovrebbero essere vere.
So che, per la condizione sufficiente di integrabilità, se una funzione è continua in $[a;b]$, allora è integrabile in $[a;b]$; il mio libro però non dice che la condizione debba anche essere necessaria, quindi sarei tentato di rispondere che l'affermazione 1 è falsa. Tuttavia non ne sono certo, e ragionandoci su non riesco a venirne a capo.
Risposte
"HowardRoark":
1) se una funzione è discontinua in qualche punto di un intervallo $[a;b]$, allora non è integrabile in $[a;b]$.
In effetti sarebbe vera se fosse
"se una funzione è discontinua in qualche punto di un intervallo $[a;b]$, allora potrebbe non essere integrabile in $[a;b]$"
Prendi le due funzioni
$f(x)=\{(1/(root(3)(x^2)) if x!=0),(0 if x=0):}$ e $f(x)=\{(1/x^2 if x!=0),(0 if x=0):}$
la prima è integrabile, la seconda no.
Il problema è che non riesco a capire quando una funzione discontinua in un intervallo sia integrabile nel medesimo intervallo. Probabilmente mi manca qualche nozione per capirlo...
Affinché una funzione sia Riemann-integrabile su un intervallo, come ti ha fatto notare @Melia non è necessario sia continua. Valgono le seguenti proposizioni infatti:
1. Data $f(x) in C^(0)("[a,b]") \rArr f(x) $ è Integrabile in $[a,b]$ (il meglio caso, cioè nel caso sia continua).
2. Data $f(x) in C^(0) ("[a,b]")$ eccetto in un numero finito di punti ${x_1, x_2, ..., x_k}$ e che sia $"limitata"$ $\rArr f(x)$ è integrabile in $[a,b]$
3. Data $f(x)$ una funzione limitata e monotona (o crescente o decrescente) in $[a,b] \rArr f(x)$ è Integrabile in $[a,b]$
In questo ultimo caso potrebbe, per esempio, avere delle discontinuità a salto ma se è strettamente monotona è Riemann-Integrabile.
1. Data $f(x) in C^(0)("[a,b]") \rArr f(x) $ è Integrabile in $[a,b]$ (il meglio caso, cioè nel caso sia continua).
2. Data $f(x) in C^(0) ("[a,b]")$ eccetto in un numero finito di punti ${x_1, x_2, ..., x_k}$ e che sia $"limitata"$ $\rArr f(x)$ è integrabile in $[a,b]$
3. Data $f(x)$ una funzione limitata e monotona (o crescente o decrescente) in $[a,b] \rArr f(x)$ è Integrabile in $[a,b]$
In questo ultimo caso potrebbe, per esempio, avere delle discontinuità a salto ma se è strettamente monotona è Riemann-Integrabile.
Le proposizioni sono piuttosto chiare.
Grazie per avermele enunciate; più in là sicuramente approfondirò la cosa.
Grazie per avermele enunciate; più in là sicuramente approfondirò la cosa.
L'affermazione "Chi è europeo è italiano" è falsa perché non tutti gli europei sono italiani. Nello stesso modo considero falsa la 4) perché non tutte le primitive sono continue; ad esempio, le primitive di $1/x^2$sono discontinue in $x=0$.
Attento giammaria che rischiamo di finire nella solita diatriba senza fine 
Le primitive di quella funzione sono continue: in $x=0$ non sono definite
Cordialmente, Alex
Le primitive di quella funzione sono continue: in $x=0$ non sono definite
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Attento giammaria che rischiamo di finire nella solita diatriba senza fine
Le primitive di quella funzione sono continue: in $x=0$ non sono definite
Cordialmente, Alex
Quindi, per la continuità di una funzione in un intervallo, non è necessario che una funzione sia definita in tutti i punti dell'intervallo? è sufficiente che sia continua in tutti i punti del suo dominio?
La continuità (e quindi la discontinuità) è una caratteristica di una funzione quindi non ha senso "valutarla" dove la funzione non esiste.
Il forum è pieno di thread sull'argomento, è uno degli argomenti "ciclici"
Il forum è pieno di thread sull'argomento, è uno degli argomenti "ciclici"
"axpgn":
Le primitive di quella funzione sono continue: in $x=0$ non sono definite
Veramente la definizione che io conosco dice che una funzione $F(x)$ è continua in $x_0$ se vale la formula $lim_(x->x_0)F(x)=F(x_0)$ e questa formula richiede che esista $F(x_0)$. Fuori dal suo dominio, una funzione non è niente ed in particolare non è continua (né discontinua: in questo avevo mancato di precisione).
Ma il fatto che NON sia continua in un punto non implica che sia discontinua in quel punto: la funzione fuori dal suo dominio non esiste proprio, non ha senso "appiccicarle" delle proprietà.
Per esempio se così fosse allora la funzione $y=ln(x)$ è discontinua in tutto $x<0$, no?
Comunque, se hai tempo cerca nel forum (ne troverai a bizzeffe): inizia a cercare nei post di gugo82
Cordialmente, Alex
P.S.: lo sapevo che finiva così (anzi che iniziava così … )
Per esempio se così fosse allora la funzione $y=ln(x)$ è discontinua in tutto $x<0$, no?
Comunque, se hai tempo cerca nel forum (ne troverai a bizzeffe): inizia a cercare nei post di gugo82
Cordialmente, Alex
P.S.: lo sapevo che finiva così (anzi che iniziava così …
)
Scusate ma non è che stiamo confondendo la primitiva (che è una cosa) con la funzione integrale (che è tutta un'altra)?
"axpgn":
Ma il fatto che NON sia continua in un punto non implica che sia discontinua in quel punto
Pienamente d'accordo e l'avevo anche scritto modificando il mio ultimo messaggio (do la mia parola che ho fatto la modifica prima di leggere la tua risposta): una funzione che non esiste non è né continua né discontinua. Io però avevo detto falsa l'affermazione "le primitiva sono continue"; avrei sbagliato se avessi detto vera "le primitive possono essere discontinue".
Mi sembra che stiamo dicendo la stessa cosa, solo con parole diverse.
"SirDanielFortesque":
Scusate ma non è che stiamo confondendo la primitiva (che è una cosa) con la funzione integrale (che è tutta un'altra)?
No, tranquillo: io sto pensando ad una sola primitiva e direi che anche axpgn lo sta facendo.
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