Domanda equazione polinomiale
Mi è data l'equazione:
$z^4-z^3+6z^2-z+15=0$ e detto che: $1+2i$ è uno dei valori di $z$.
A questo punto mi viene chiesto di trovare gli altri valori di z.
Visto che l'equazione è di quarto grado ci sono quattro risultati.
$z1=1+2i$
$z2=1-2i$
$z3=a+bi$
$z4=a-bi$
(Visto che l'equazione non ha risultati reali devono per forza essere tutti e quattro complessi!)
Quindi:
$(z-1-2i)(z-1+2i)(z-a-bi)(z-a+bi)=0$
$(z^2-2z+5)(z^2-2az+(a^2+b^2))=0$
A questo punto mi sono bloccato... Ho provato ad espandere:
$z^4-2az+z^2(a^x+b^2)-2z^3-2az^2-2z(a^2+b^2)+5z^2-10az+5(a^2+b^2)$
Ma da qui non riesco a ricavare a e b... Consigli?
$z^4-z^3+6z^2-z+15=0$ e detto che: $1+2i$ è uno dei valori di $z$.
A questo punto mi viene chiesto di trovare gli altri valori di z.
Visto che l'equazione è di quarto grado ci sono quattro risultati.
$z1=1+2i$
$z2=1-2i$
$z3=a+bi$
$z4=a-bi$
(Visto che l'equazione non ha risultati reali devono per forza essere tutti e quattro complessi!)
Quindi:
$(z-1-2i)(z-1+2i)(z-a-bi)(z-a+bi)=0$
$(z^2-2z+5)(z^2-2az+(a^2+b^2))=0$
A questo punto mi sono bloccato... Ho provato ad espandere:
$z^4-2az+z^2(a^x+b^2)-2z^3-2az^2-2z(a^2+b^2)+5z^2-10az+5(a^2+b^2)$
Ma da qui non riesco a ricavare a e b... Consigli?
Risposte
Sai fare la divisione tra polinomi?
Perchè se dividi $z^4-z^3+6z^2-z+15$ per $z^2-2z+5$ hai praticamente già finito
Perchè se dividi $z^4-z^3+6z^2-z+15$ per $z^2-2z+5$ hai praticamente già finito
Purtroppo non ce l'hanno insegnata... Immagino che volessero che la risolvessimo altrimenti. 
(Se ho capito bene queste equazioni hanno un numero di soluzioni equivalenti al proprio grado, dove ogni soluzione complessa ha un equivalente in termini di a+bi e a-bi... Se il grado dell'equazione è dispari hanno anche una soluzione reale? Lo dico perché altrimenti non vedo come si potrebbe avere un numero dispari di soluzioni.)
(Se ho capito bene queste equazioni hanno un numero di soluzioni equivalenti al proprio grado, dove ogni soluzione complessa ha un equivalente in termini di a+bi e a-bi... Se il grado dell'equazione è dispari hanno anche una soluzione reale? Lo dico perché altrimenti non vedo come si potrebbe avere un numero dispari di soluzioni.)
Vi hanno certo insegnato la divisione con Ruffini: usala due volte, dividendo prima per $z-1-2i$ e poi per $z-1+2i$. Non capisco su cosa basi l'affermazione che non ci sono soluzioni reali; anche se non ci sono soluzioni calcolabili col metodo di Ruffini (non ho controllato, ma suppongo che l'abbia fatto tu), potrebbero esserci soluzioni reali ma irrazionali.
Confermo la tua ultima frase: un'equazione del tipo polinomio=0 con coefficienti reali e grado dispari ha sempre almeno una soluzione reale.
Confermo la tua ultima frase: un'equazione del tipo polinomio=0 con coefficienti reali e grado dispari ha sempre almeno una soluzione reale.
"max0009":
$z^4-z^3+6z^2-z+15=(z^2-2z+5)(z^2-2az+(a^2+b^2))$
A questo punto mi sono bloccato... Ho provato ad espandere:
$z^4 -2az+z^2(a^x+b^2)-2z^3-2az^2-2z(a^2+b^2)+5z^2-10az+5(a^2+b^2)$
A me l'espansione viene $z^4-2z^3+5z^2-2az^3+4az^2-10az+(a^2+b^2)z^2-2(a^2+b^2)z+5(a^2+b^2)$
Ok, da quello che ho capito per risolvere queste equazioni bisogna esprimerle come una sequenza di moltiplicazioni dove l'incognita è contenuta una sola volta in ognuna, il numero di moltiplicazioni è pari al grado dell'equazione. Giusto? Le forme complesse vengono sempre in coppia: $a+bi$ e $a-bi$.
Le divisioni fra polinomi... Non ne sono sicuro... Il punto è che seguo un programma in Inglese quindi i termini italiani non li conosco.
E' possibile che abbia sbagliato l'espansione, sono quattro ore che sto facendo matematica. In ogni caso procedendo con l'espansione e ricavando i valori di a e b posso trovare le due altre soluzioni per Z3 e Z4? E' un approccio giusto o sbaglio qualcosa?
Le divisioni fra polinomi... Non ne sono sicuro... Il punto è che seguo un programma in Inglese quindi i termini italiani non li conosco.
E' possibile che abbia sbagliato l'espansione, sono quattro ore che sto facendo matematica. In ogni caso procedendo con l'espansione e ricavando i valori di a e b posso trovare le due altre soluzioni per Z3 e Z4? E' un approccio giusto o sbaglio qualcosa?
L'approccio che hai scelto mi sembra corretto, anche se molto "calcoloso".
Solo che nel fare i conti hai sbagliato una moltiplicazione. Hai messo $-2az$, quando invece doveva essere $-2az^3$
Dovrebbe venirti così: $z^4-2z^3+5z^2-2az^3+4az^2-10az+(a^2+b^2)z^2-2(a^2+b^2)z+5(a^2+b^2)
Ho continuato l'esercizio... Lo mettosotto spoiler nel caso tu voglia provare a continuarlo da solo. Se hai altri dubbi chiedi pure
Solo che nel fare i conti hai sbagliato una moltiplicazione. Hai messo $-2az$, quando invece doveva essere $-2az^3$
Dovrebbe venirti così: $z^4-2z^3+5z^2-2az^3+4az^2-10az+(a^2+b^2)z^2-2(a^2+b^2)z+5(a^2+b^2)
Ho continuato l'esercizio... Lo mettosotto spoiler nel caso tu voglia provare a continuarlo da solo. Se hai altri dubbi chiedi pure
Sì, quando si conoscono una o più soluzioni, si scrive il tutto come prodotto di polinomi. Si ha
$(z^4-z^3+6z^2-z+15): [z-(1+2i)]=z^3+2iz^2+(2+2i)z+(-3+6i)$
$[z^3+2iz^2+(2+2i)z+(-3+6i)]:[z-(1-2i)]=z^2+z+3$
quindi la tua equazione equivale a
$[z-(1+2i)]*[z-(1-2i)]*(z^2+z+3)=0$
che risolvi con l'annullamento del prodotto.
$(z^4-z^3+6z^2-z+15): [z-(1+2i)]=z^3+2iz^2+(2+2i)z+(-3+6i)$
$[z^3+2iz^2+(2+2i)z+(-3+6i)]:[z-(1-2i)]=z^2+z+3$
quindi la tua equazione equivale a
$[z-(1+2i)]*[z-(1-2i)]*(z^2+z+3)=0$
che risolvi con l'annullamento del prodotto.
Ok, grazie mille, sono riuscito a risolvere!
Una domanda che mi è venuta in mente...
Supponendo un'equazione di grado n: Può essere espressa come una successione di n moltiplicazioni, ognuna delle quali composta da un fattore dell'equazione originale. Eg:
$ax^4+bx^3+cx^2+d = 0$
Espressa come
$(x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = ax^4+bx^3+cx^2+d = 0$ dove $(x+a)$, $(x+b)$, $(x+c)$ e $(x+d)$ sono fattori di $ax^4+bx^3+cx^2+d$. In questo caso le quattro soluzioni sono uguali $x=-e$ dove $-e$ è rispettivamente $a$, $b$, $c$ e $d$.
Il mio dubbio riguarda la (non) presenza delle forme complesse. Mettiamo che $a$ venga espresso in forma di $a+bi$, in tal caso il primo x sarebbe $-a-bi$; in questo caso $b$ diventa automaticamente $a-bi$ e $b$ $-a+bi$.
Quante forme reale può avere un'equazione? Almeno quante ne deve avere? Quante può averne al massimo? Come faccio a sapere se in $(x+y)$ $y$ assume un valore reale o complesso? Esiste un metodo diretto per arrivare alla serie di prodotti o devo ogni volta "inventare" una strategia nuova? Avevo pensato ad usare la calcolatrice grafica per visualizzare il grafico dell'equazione e trovare tutti i risultati reali. A questo punto sostituirli e sapere quanti risultati immaginari esistono, quindi risolvere anche per le x immaginarie.
Ultima parte: i risultati complessi "arrivano" perché alcuni valori di x elevati ad una potenza non dispari contengono un valore negativo, giusto? Tipo:
$(-2+-sqrt(-4))/2$ diventa $(-2+-sqrt(4i^2))/2$ quindi $(-2+-sqrt(4)i)/2$, giusto? Quindi si potrebbe anche dire che ogni equazione di grado superiore a due può avere fra i suoi fattori un'equazione di secondo grado da dove "derivano" i risultati complessi? Se mi trovassi un'equazione simile potrei già derivare due soluzioni da essa o dovrei scomporre ulteriormente?
Spero di non essere stato troppo caotico nelle mie domande, se c'è qualcosa di poco chiaro sono disponibilissimo a cercare di ri-spiegarmi!
Una domanda che mi è venuta in mente...
Supponendo un'equazione di grado n: Può essere espressa come una successione di n moltiplicazioni, ognuna delle quali composta da un fattore dell'equazione originale. Eg:
$ax^4+bx^3+cx^2+d = 0$
Espressa come
$(x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = ax^4+bx^3+cx^2+d = 0$ dove $(x+a)$, $(x+b)$, $(x+c)$ e $(x+d)$ sono fattori di $ax^4+bx^3+cx^2+d$. In questo caso le quattro soluzioni sono uguali $x=-e$ dove $-e$ è rispettivamente $a$, $b$, $c$ e $d$.
Il mio dubbio riguarda la (non) presenza delle forme complesse. Mettiamo che $a$ venga espresso in forma di $a+bi$, in tal caso il primo x sarebbe $-a-bi$; in questo caso $b$ diventa automaticamente $a-bi$ e $b$ $-a+bi$.
Quante forme reale può avere un'equazione? Almeno quante ne deve avere? Quante può averne al massimo? Come faccio a sapere se in $(x+y)$ $y$ assume un valore reale o complesso? Esiste un metodo diretto per arrivare alla serie di prodotti o devo ogni volta "inventare" una strategia nuova? Avevo pensato ad usare la calcolatrice grafica per visualizzare il grafico dell'equazione e trovare tutti i risultati reali. A questo punto sostituirli e sapere quanti risultati immaginari esistono, quindi risolvere anche per le x immaginarie.
Ultima parte: i risultati complessi "arrivano" perché alcuni valori di x elevati ad una potenza non dispari contengono un valore negativo, giusto? Tipo:
$(-2+-sqrt(-4))/2$ diventa $(-2+-sqrt(4i^2))/2$ quindi $(-2+-sqrt(4)i)/2$, giusto? Quindi si potrebbe anche dire che ogni equazione di grado superiore a due può avere fra i suoi fattori un'equazione di secondo grado da dove "derivano" i risultati complessi? Se mi trovassi un'equazione simile potrei già derivare due soluzioni da essa o dovrei scomporre ulteriormente?
Spero di non essere stato troppo caotico nelle mie domande, se c'è qualcosa di poco chiaro sono disponibilissimo a cercare di ri-spiegarmi!
Per ogni soluzione reale $c$, il polinomio è divisibile per $(x-c)$.
Per ogni soluzione complessa $a+ib$ c'è anche la complessa coniugata, quindi il polinomio è divisibile per $[x-(a+ib)][x-(a-ib)]=x^2-2ax+(a^2+b^2)$.
Conclusione: ogni polinomio è scomponibile in fattori di primo o secondo grado, a coefficienti reali. Questo non significa che i coefficienti siano numeri facili: spesso sono numeri irrazionali e non esprimibili neanche con una lunga formula a base di radici varie.
Chiedi: "Esiste un metodo diretto per arrivare alla serie di prodotti o devo ogni volta "inventare" una strategia nuova?": purtroppo non esiste. Se tutto va bene, si può trovare qualche strategia; in caso contrario le soluzioni reali possono essere trovate approssimativamente col metodo grafico o con altri metodi; non conosco metodi per trovare le soluzioni complesse (che però difficilmente interessano). Tieni presente che un'equazione di quarto grado può non avere soluzioni reali: in quel caso, il metodo grafico che proponi non funziona.
Per ogni soluzione complessa $a+ib$ c'è anche la complessa coniugata, quindi il polinomio è divisibile per $[x-(a+ib)][x-(a-ib)]=x^2-2ax+(a^2+b^2)$.
Conclusione: ogni polinomio è scomponibile in fattori di primo o secondo grado, a coefficienti reali. Questo non significa che i coefficienti siano numeri facili: spesso sono numeri irrazionali e non esprimibili neanche con una lunga formula a base di radici varie.
Chiedi: "Esiste un metodo diretto per arrivare alla serie di prodotti o devo ogni volta "inventare" una strategia nuova?": purtroppo non esiste. Se tutto va bene, si può trovare qualche strategia; in caso contrario le soluzioni reali possono essere trovate approssimativamente col metodo grafico o con altri metodi; non conosco metodi per trovare le soluzioni complesse (che però difficilmente interessano). Tieni presente che un'equazione di quarto grado può non avere soluzioni reali: in quel caso, il metodo grafico che proponi non funziona.
Come faccio a sapere quante forme reali/complesse ha l'equazione? Potrei rappresentarlo in forma grafica ma se non avessi la calcolatrice sotto mano? Il fatto che sia divisibile epr $(x+a+bi)(x+a-bi)$ significa che è anche divisibile per $(x+a+bi)$ e $(x+a-bi)$? Dovrebbe perché se $(x+a+bi)(x+a-bi) = m$ allora $(x+a+bi) = m/(x+a-bi)$ (e viceversa), il rimanente è zero...
Non è possibile stabilire inizialmente quante soluzione reali e quante complesse ha un'equazione; se non si ha la calcolatrice sotto mano, si fa un grafico senza usarla (studiando l'analisi matematica vedrai, o hai già visto, come fare).
Per l'altra domanda, la risposta vale anche per i numeri naturali: se un numero è divisibile per un prodotto, lo è anche per ogni fattore del prodotto.
Per l'altra domanda, la risposta vale anche per i numeri naturali: se un numero è divisibile per un prodotto, lo è anche per ogni fattore del prodotto.
Ok, grazie mille per il tempo che mi state dedicando e l'aiuto! Ancora una domanda. Ipotizzando che io abbia:
$(g)(x-a+bi)(x-a-bi)(x-c+di)(x-c-di) = ...+ax^4+bx^3+cx^2+d = 0$
Dove $g$ è il risultato di una serie di moltiplicazioni di cui conosco il valore.
E' possibile dedurre i valori di $a$, $b$, $c$ e $d$ comunque? Qual'è il punto in cui il numero di incognite è troppo alto per permettere di ricavarne dei valori unici da assegnare ad ogni incognita?
Ancora una domanda. Ipotizzando che io abbia:$(g)(x-a+bi)(x-a-bi)(x-c+di)(x-c-di) = ...+ax^4+bx^3+cx^2+d = 0$
Dove $g$ è il risultato di una serie di moltiplicazioni di cui conosco il valore.
E' possibile dedurre i valori di $a$, $b$, $c$ e $d$ comunque? Qual'è il punto in cui il numero di incognite è troppo alto per permettere di ricavarne dei valori unici da assegnare ad ogni incognita?
Hai usato le stesse lettere per indicare cose diverse. Dubito che la $a$ presente a primo membro coincida con quella a secondo membro.
In teoria dovrebbe... Ogni soluzione complessa ha una "compagna" tale che $a+bi$ prevede automaticamente $a-bi$...
Intendo una di queste $a$
$(g)(x-a+bi)(x-a-bi)...$
e questa
...+ax^4+...$
che devono essere sicuramente diverse
$(g)(x-a+bi)(x-a-bi)...$
e questa
...+ax^4+...$
che devono essere sicuramente diverse
Aaaah sisi scusa intendevo:
$(g)(x-a+bi)(x-a-bi)(x-c+di)(x-c-di) = ...+mx^4+nx^3+rx^2+px=0$
Sarebbe teoricamente possibile risolvere conoscendo i valori di $g$, $m$, $n$, $r$ e $p$? Quante incognite possono essere aggiunte all'equazione prima che diventi irrisolvibile?
$(g)(x-a+bi)(x-a-bi)(x-c+di)(x-c-di) = ...+mx^4+nx^3+rx^2+px=0$
Sarebbe teoricamente possibile risolvere conoscendo i valori di $g$, $m$, $n$, $r$ e $p$? Quante incognite possono essere aggiunte all'equazione prima che diventi irrisolvibile?
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