Domanda Equazione Differenziale
Buonasera, avrei un dubbio...
Dato da risolvere:
$(dy)/(dx) = 1/(x+y^2), y(-1) = 0$
Il mio tentativo:
$(dx)/(dy) = x+y^2$
$dx = dy(x+y^2)$
$\int 1dx = \int xdy + \int y^2dy$
$x = xy + (1/3)y^3 + k$
Data la condizione iniziale:
$-1 = -1(0)+(1/3)(0^3)+k$
$k=-1$
Quindi $x = xy + (1/3)y^3 -1$
Può l'esercizio considerarsi risolto o devo per forza fare y soggetto dell'equazione? Nel caso, come potrei fare?
Grazie in anticipo!
Dato da risolvere:
$(dy)/(dx) = 1/(x+y^2), y(-1) = 0$
Il mio tentativo:
$(dx)/(dy) = x+y^2$
$dx = dy(x+y^2)$
$\int 1dx = \int xdy + \int y^2dy$
$x = xy + (1/3)y^3 + k$
Data la condizione iniziale:
$-1 = -1(0)+(1/3)(0^3)+k$
$k=-1$
Quindi $x = xy + (1/3)y^3 -1$
Può l'esercizio considerarsi risolto o devo per forza fare y soggetto dell'equazione? Nel caso, come potrei fare?
Grazie in anticipo!
Risposte
Comincio col rispondere all'ultima domanda: non è necessario esplicitare la $y$ e lo si fa solo quando è ragionevolmente facile.
La tua soluzione però è sbagliata, in quanto $\int x dy \ne xy+k$ perché $x$ non è una costante. Te ne puoi convincere anche ricavando $x$ dalla tua formula finale: il risultato non soddisfa l'equazione data, cioè $x'=x+y^2$.
Mando la mia soluzione, omettendo per brevità molti passaggi. L'equazione $x'=x$ ha come soluzione $x=ke^y$, il che suggerisce la sostituzione $x=ze^y$, essendo $z$ una funzione da determinare. L'equazione data diventa allora
$z'e^y=y^2 -> z'=y^2 e^(-y) ->dz=y^2 e^(-y)dy$
Integrando e ritornando ad $x$ ottengo
$xe^(-y)=-(y^2+2y+2)e^(-y)+k -> x=-y^2-2y-2+ke^y$
Dalla condizione iniziale ricavo ora $k=-1$
La tua soluzione però è sbagliata, in quanto $\int x dy \ne xy+k$ perché $x$ non è una costante. Te ne puoi convincere anche ricavando $x$ dalla tua formula finale: il risultato non soddisfa l'equazione data, cioè $x'=x+y^2$.
Mando la mia soluzione, omettendo per brevità molti passaggi. L'equazione $x'=x$ ha come soluzione $x=ke^y$, il che suggerisce la sostituzione $x=ze^y$, essendo $z$ una funzione da determinare. L'equazione data diventa allora
$z'e^y=y^2 -> z'=y^2 e^(-y) ->dz=y^2 e^(-y)dy$
Integrando e ritornando ad $x$ ottengo
$xe^(-y)=-(y^2+2y+2)e^(-y)+k -> x=-y^2-2y-2+ke^y$
Dalla condizione iniziale ricavo ora $k=-1$
Ciao, grazie risposta! 
Non capisco però perché:
$\int xdy$ non sia uguale a $xy+k$ in quanto $d/(dy) xy+k = x$
Non capisco però perché:
$\int xdy$ non sia uguale a $xy+k$ in quanto $d/(dy) xy+k = x$
$d/(dy)( xy+k)=x'y+x$, dove l'apice indica derivata rispetto ad $y$.
Giusto!
Grazie mille!
Grazie mille!
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