Domanda equazione di terzo grado
Studiando la teoria per la risoluzione delle equazioni di terzo grado mi è sorto un dubbio: per un'equazione di terzo grado, che abbia per ipotesi tutte e tre le radici reali, segue necessariamente che il polinomio dell'equazione si fattorizzi in un polinomio di primo grado e uno di secondo (senza il termine di primo), cioè che due delle tre soluzioni, quelle derivanti dall'equazione di secondo grado pura, abbiano segno opposto?
Ad esempio, ho trovato (anche su Wikipedia) la seguente regola
"$ax^3+bx^2+cx+d=0$. Si ha almeno una soluzione reale se l'equazione della cubica, a coefficienti reali, gode di una particolare caratteristica $b*c/a=d$.
$ax^3+bx^2+cx+b*c/a=0$
da cui $ax^3+bx^2+cx+b*c/a=a(x+b/a)(x^2+c/a)$, per cui una soluzione è reale e le altre due dipende dal segno di $c/a$".
La mia domanda è se questo caso debba essere valido per ogni equazione di terzo grado che abbia tre radici reali.
Grazie dell'aiuto.
Ad esempio, ho trovato (anche su Wikipedia) la seguente regola
"$ax^3+bx^2+cx+d=0$. Si ha almeno una soluzione reale se l'equazione della cubica, a coefficienti reali, gode di una particolare caratteristica $b*c/a=d$.
$ax^3+bx^2+cx+b*c/a=0$
da cui $ax^3+bx^2+cx+b*c/a=a(x+b/a)(x^2+c/a)$, per cui una soluzione è reale e le altre due dipende dal segno di $c/a$".
La mia domanda è se questo caso debba essere valido per ogni equazione di terzo grado che abbia tre radici reali.
Grazie dell'aiuto.
Risposte
Forse non ho capito bene la domanda, ma se ho capito questo polinomio dovrebbe essere illuminante:
$(x+1)(x+2)(x+3)$ è di terzo grado, ha tre soluzioni reali, e sono tutte distinte in modulo.
$(x+1)(x+2)(x+3)$ è di terzo grado, ha tre soluzioni reali, e sono tutte distinte in modulo.
@elios: dovunque tu abbia trovato la regola che citi, è sbagliata: un'equazione di terzo grado a coefficienti reali ha SEMPRE almeno una soluzione reale. Bè, ad essere pignoli la frase non lo nega, ma è come dire "Se Natale cade di martedì, cade il 25 dicembre"
scusami, ma io non ho bene capito la tua domanda.
comunque penso sia opportuno leggere bene la teoria sulle equazioni di grado
superiore al secondo. tra l'altro c'è un noto teorema che permette l'individuazione
per tentativi delle soluzioni razionali di una equazione razionale intera .
se sei interessato poi te lo scrivo!
ciao
comunque penso sia opportuno leggere bene la teoria sulle equazioni di grado
superiore al secondo. tra l'altro c'è un noto teorema che permette l'individuazione
per tentativi delle soluzioni razionali di una equazione razionale intera .
se sei interessato poi te lo scrivo!
ciao
"elios":
Studiando la teoria per la risoluzione delle equazioni di terzo grado mi è sorto un dubbio: per un'equazione di terzo grado, che abbia per ipotesi tutte e tre le radici reali, segue che due delle tre soluzioni, quelle derivanti dall'equazione di secondo grado pura, abbiano segno opposto?
La risposta è chiaramente no!
Se prendi $x^3-6x^2+11x-6=0$ essa è $(x-1)(x-2)(x-3)=0$ che ha le 3 soluzioni reali $x=1$, $x=2$, $x=3$ e hanno tutte lo stesso segno.
Direi che devi riformulare la domanda in modo sensato
Avete risposto alla mia domanda, in sostanza in modo negativo. Io chiedevo se quella regola che ho trovato fosse valida per ogni equazione di terzo grado, ma effettivamente è assurdo che lo sia.
Allora la mia domanda diventa: avendo un'equazione di terzo grado (parametrica), qual è la condizione affinché abbia tre soluzioni reali?
Allora la mia domanda diventa: avendo un'equazione di terzo grado (parametrica), qual è la condizione affinché abbia tre soluzioni reali?
Farlo in modo rigoroso è lungo e noioso (che poeta 
), quindi ti spiego a parole.
Ogni polinomio di terzo grado $p$ ha una radice reale, chiamiamola $\alpha$.
fai $p/(x-\alpha)$ e ottieni un polinomio di secondo grado, $g$.
Qual'è la condizione necessaaria e sufficiente affinchè $g$ abbia due radici reali? che il $\Delta$ sia maggiore di $0$.
facendo i passaggi algebrici ottieni direttamente delle condizioni sui coefficienti di $p$, magari in dipendenza anche da $\alpha$.
), quindi ti spiego a parole.Ogni polinomio di terzo grado $p$ ha una radice reale, chiamiamola $\alpha$.
fai $p/(x-\alpha)$ e ottieni un polinomio di secondo grado, $g$.
Qual'è la condizione necessaaria e sufficiente affinchè $g$ abbia due radici reali? che il $\Delta$ sia maggiore di $0$.
facendo i passaggi algebrici ottieni direttamente delle condizioni sui coefficienti di $p$, magari in dipendenza anche da $\alpha$.
Detti
$p=-a^2/3+b$
$q=(2a^3)/27-(ab)/3+c$
$R=q^2/4+p^3/27$
allora l'equazione ha 3 soluzioni reali se e solo se $R<=0$.
La dimostrazione non è difficilissima, ma piuttosto lunga...
Magari puoi cercarla su qualche libro.
Ciao
$p=-a^2/3+b$
$q=(2a^3)/27-(ab)/3+c$
$R=q^2/4+p^3/27$
allora l'equazione ha 3 soluzioni reali se e solo se $R<=0$.
La dimostrazione non è difficilissima, ma piuttosto lunga...
Magari puoi cercarla su qualche libro.
Ciao
"misanino":
Detti
$p=-a^2/3+b$
$q=(2a^3)/27-(ab)/3+c$
$R=q^2/4+p^3/27$
allora l'equazione ha 3 soluzioni reali se e solo se $R<=0$.
La dimostrazione non è difficilissima, ma piuttosto lunga...
Magari puoi cercarla su qualche libro.
Ciao
cosa sono $a,b,c$?
quale equazione?
L'equazione $ax^3+bx^2+cx+d=0$
forma generale di un'equazione di 3° grado
forma generale di un'equazione di 3° grado
"misanino":
L'equazione $ax^3+bx^2+cx+d=0$
forma generale di un'equazione di 3° grado
chiaro!
però è un metodo abbastanza complicato no?
il mio mi sembra più intuitivo, anche se non dà sempre buon esito, in quanto non sempre si può trovare la radice reale, anche se esiste.
Mi sa che elios dovrà rassegnarsi a non sapere bene se un polinomio di terzo grado ha una sola oppure tre radici reali..
Certo il tuo, quando funziona, è molto più veloce e intuitivo.
Anche perchè non è il caso si usare informazioni che uno non conosce appieno.
Tra parentesi, anch'io farei come te.
Era solo per dare la soluzione generale.
Siamo d'accordo quindi.
Ottimo!
Anche perchè non è il caso si usare informazioni che uno non conosce appieno.
Tra parentesi, anch'io farei come te.
Era solo per dare la soluzione generale.
Siamo d'accordo quindi.
Ottimo!
Credo che misanino si sia confuso: l'equazione di riferimento è $x^3+ax^2+bx+c=0$.
Effettivamente avevo trovato questo modo ma anche a me era sembrato un po' troppo complicato.. E invece mi devo rassegnare! =)
Effettivamente avevo trovato questo modo ma anche a me era sembrato un po' troppo complicato.. E invece mi devo rassegnare! =)
Sì, sì.
Semplifico per $a$, rinomino i coefficienti e mi riporto a $x^3+ax^2+bx+c=0$
Ciao
Semplifico per $a$, rinomino i coefficienti e mi riporto a $x^3+ax^2+bx+c=0$
Ciao
spero di non essere fuori luogo, ma ti riporto il teorema valido nella
risoluzione delle equazioni di grado n (quindi valido anche per le equazioni di terzo grado):
Teorema. se la frazione $p/q$ (ridotta ai minimi termini) è soluzione dell'equazione
$a_0 x^n + a_1 x^(n-1) + ...... + a_(n-1) x + a_n = 0$ (*)
necessariamente il numeratore $p$ è divisore del termine noto $a_n$ e il denominatore
$q$ è divisore del coefficiente $a_0$ del termine di grado massimo.
da questo teorema, deriva il metodo per tentativi che permette di trovare, se esistono , le soluzioni
razionali di una equazione intera in $x$ di grado $n$. ovvero data l'equazione (*) si trovano
tutti i divisori (positivi e negativi) del coefficiente $a_0$. Qualunque frazione avente per numeratore uno
qualsiasi dei primi divisori e per denominatore uno qualsiasi dei secondi può essere soluzione della (*) .
basta poi sostituire per verificare se tale frazione è davvero una soluzione dell'equazione data.
spero di non aver perduto tempo ad indicare teorema e metodo, ovvero mi auguro che torni utile.
Buon pomeriggio
risoluzione delle equazioni di grado n (quindi valido anche per le equazioni di terzo grado):
Teorema. se la frazione $p/q$ (ridotta ai minimi termini) è soluzione dell'equazione
$a_0 x^n + a_1 x^(n-1) + ...... + a_(n-1) x + a_n = 0$ (*)
necessariamente il numeratore $p$ è divisore del termine noto $a_n$ e il denominatore
$q$ è divisore del coefficiente $a_0$ del termine di grado massimo.
da questo teorema, deriva il metodo per tentativi che permette di trovare, se esistono , le soluzioni
razionali di una equazione intera in $x$ di grado $n$. ovvero data l'equazione (*) si trovano
tutti i divisori (positivi e negativi) del coefficiente $a_0$. Qualunque frazione avente per numeratore uno
qualsiasi dei primi divisori e per denominatore uno qualsiasi dei secondi può essere soluzione della (*) .
basta poi sostituire per verificare se tale frazione è davvero una soluzione dell'equazione data.
spero di non aver perduto tempo ad indicare teorema e metodo, ovvero mi auguro che torni utile.
Buon pomeriggio
Proprio io ed elios avevamo trattato il teorema pochi giorni fa qui:
https://www.matematicamente.it/forum/pol ... 49778.html
quindi non era fuori luogo, anzi!
https://www.matematicamente.it/forum/pol ... 49778.html
quindi non era fuori luogo, anzi!
Sìsì è quello che blackbishop mi ha detto l'altro giorno. =)
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo