$d|m,d|n => d|(m-n)$

[DavideGenova1]

Ciao, amici!
Stavo leggendo la dimostrazione dell'algoritmo euclideo per il calcolo del massimo comun denominatore.
Osservo che, dati $m,n,d in ZZ$ si ha che $m/d,n/d in ZZ => (m-n)/d in ZZ$. Direi che vale anche l'implicazione inversa e quindi
$m/d,n/d in ZZ <=> (m-n)/d in ZZ$ per cui
$MCD(m,n)=MCD(n,(m-n))$.
Giusto?
$+oo$ grazie a tutti!!!

EDIT: modificato titolo perché non tragga in inganno un'affermazione sbagliata, anche se seguita da "?" (era "$d|m,d|n <=> d|(m-n)$?").

[retrocomputer]

"DavideGenova":
Osservo che, dati $m,n,d in ZZ$ si ha che $m/d,n/d in ZZ => (m-n)/d in ZZ$. Direi che vale anche l'implicazione inversa e quindi
$m/d,n/d in ZZ <=> (m-n)/d in ZZ$ per cui

E se, per esempio, $m=n=1$ e $d=2$?

[gio73]

"DavideGenova":Ciao, amici!
Stavo leggendo la dimostrazione dell'algoritmo euclideo per il calcolo del massimo comun denominatore.

non è minimo comun denominatore?

[retrocomputer]

Diciamo Massimo Comune Divisore e siamo tutti contenti

[gio73]

"DavideGenova":Ciao, amici!
Stavo leggendo la dimostrazione dell'algoritmo euclideo per il calcolo del massimo comun denominatore.
Osservo che, dati $m,n,d in ZZ$ si ha che $m/d,n/d in ZZ => (m-n)/d in ZZ$. Direi che vale anche l'implicazione inversa e quindi
$m/d,n/d in ZZ <=> (m-n)/d in ZZ$ per cui
$MCD(m,n)=MCD(n,(m-n))$.
Giusto?
$+oo$ grazie a tutti!!!

Non capisco molto bene. provo atradurre in italiano: se due numeri sono interi allora la loro differenza è un numero intero (vero l'operazione differenza è interna all'insieme dei numeri interi, ad esempio $-5 -(+7)=-12$). Se la differenza tra due numeri è un numero intero allora i due numeri sono interi (falso ad esempio $1/2-1/2=0$ , $0 in ZZ$ ma $1/2 in QQ$ )

[gio73]

"retrocomputer":Diciamo Massimo Comune Divisore e siamo tutti contenti

Ok ora ci sono

[DavideGenova1]

Ultimamente sono un po' fuori di testa... Un altro esempio è con m = 7, n = 3, d = 2...
Direi che piuttosto il fatto che $MCD(m,n)=MCD(n,(m-n))$ (utilizzato per dimostrare l'algoritmo di Euclide ) si dimostra con
$AAm,n,d in ZZ$ si ha che $m/d,n/d in ZZ => (m-n)/d in ZZ$ e $(m-n)/d in ZZ, n/d in ZZ => m/d in ZZ $
Giusto?
Grazie di nuovo!!!

[gio73]

vorrei aiutarti ma queste cose non le ho mai studiate. Ti seguo e vediamo cosa succede.

"DavideGenova":Ultimamente sono un po' fuori di testa... Un altro esempio è con m = 7, n = 3, d = 2...

Anche in questo caso il risultato appartiene all'insieme $ZZ$ ma non i termini della operazione che appartengono all'insieme $QQ$. Dunque la relazione che tu hai scritto dovrebbe essere una semplice implicazione e non una coimplicazione, cioè vale in un verso ma non nel verso opposto. L'ultima parte della tua dimostrazione dovrebbe essere falsa perchè $7/2inQQ$ non $inZZ$. Idem per $3/2$. Ci sono o ho preso un granchio?

[retrocomputer]

A me adesso sembra giusto. Forse non si legge benissimo, ma l'ultimo pezzo significa che:
se la differenza di due frazioni è un intero e una delle due frazioni è un intero, allora è un intero anche l'altra frazione.

[DavideGenova1]

"gio73":Ci sono o ho preso un granchio?

È quello che intendevo: se $(m-n)/d$ è un intero non è detto che $m/d$ e $n/d$ siano interi: $(7-3)/2=2 in ZZ$ ma $7/2,3/2 in QQ\\ZZ$ (occhio che $ZZ sub QQ$: gli interi sono razionali).
Grazie a tutti per gli interventi e gli aiuti!!!

[gio73]

"retrocomputer":A me adesso sembra giusto. Forse non si legge benissimo, ma l'ultimo pezzo significa che:
se la differenza di due frazioni è un intero e una delle due frazioni è un intero, allora è un intero anche l'altra frazione.

Sì retrocomputer mi sembra che tu abbia ragione. Buonanotte