Divisori e multipli comuni di polinomi
Calcolare il divisore comune di maggior grado possibile e il multiplo comune di minor grado possibile.
Potete osservare questi risultati e vedere se sono giusti…il dubbio mi è nato perché calcolando il m.c.m con Derive il risultato era un polinomio diverso.
Calcolare il divisore comune di maggior grado possibile e il multiplo comune di minor grado possibile.
Potete osservare questi risultati e vedere se sono giusti…il dubbio mi è nato perché calcolando il m.c.m con Derive il risultato era un polinomio diverso.
$2x - 2, 5x - 5, nx - n$
Scompongo:
$2x-2= 2(x-1)$
$5x-5= 5(x-1)$
$nx-n= n(x-1)$
$MCD: x - 1; mcm: 10n(x - 1)$
$a^2 - b^2, a^2 - ab, ab^2 - b^3$
Scompongo:
$a^2-b^2= (a+b)(a-b)$
$a^2-ab= a(a-b)$
$ab^2-b^3= b^2(a-b)$
$MCD: a - b; mcm: ab^2(a + b)(a - b)$
$x^2 - 2xy + y^2, x^3 - xy^2, x^3 - x^2y$
Scompongo:
$x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$
$x^3 - xy^2 = x(x^2 - y^2) = x(x + y)(x - y)$
$x^3 - x^2y = x^2(x - y)$
$MCD: x - y; mcm: x^2(x + y)(x - y)^2$
$4 - x^2, 4x - 8, x^2 - 4x + 4$
Scompongo:
$4 - x^2 = - (x + 2)(x - 2)$
$4x - 8 = 4(x - 2)$
$x^2 - 4x + 4 = (x - 2)(x - 2)$
$MCD: x - 2; mcm: 4(x - 2)^2(x + 2)$
$3x^2 - 6xy, 3x^3 - 6x^2 - 12x, 12x^2y^2 + 15x^2y^3$
Scompongo:
$3x^2 - 6xy = 3x(x - 2y)$
$3x^3 - 6x^2 - 12x = 3x(x^2 - 2x - 4)$
$12x^2y^2 + 15x^2y^3 = 3x^2y^2(5y + 4)$
$MCD: 3x; mcm: 3x^2y^2(x^2 - 2x - 4)(4 + 5y)(x - 2y)$
Si può esseri sicuri che essi siano rispettivamente il M.C.D. e il m.c.m. ?
Come si fa a capirlo?
Grazie
Potete osservare questi risultati e vedere se sono giusti…il dubbio mi è nato perché calcolando il m.c.m con Derive il risultato era un polinomio diverso.
Calcolare il divisore comune di maggior grado possibile e il multiplo comune di minor grado possibile.
Potete osservare questi risultati e vedere se sono giusti…il dubbio mi è nato perché calcolando il m.c.m con Derive il risultato era un polinomio diverso.
$2x - 2, 5x - 5, nx - n$
Scompongo:
$2x-2= 2(x-1)$
$5x-5= 5(x-1)$
$nx-n= n(x-1)$
$MCD: x - 1; mcm: 10n(x - 1)$
$a^2 - b^2, a^2 - ab, ab^2 - b^3$
Scompongo:
$a^2-b^2= (a+b)(a-b)$
$a^2-ab= a(a-b)$
$ab^2-b^3= b^2(a-b)$
$MCD: a - b; mcm: ab^2(a + b)(a - b)$
$x^2 - 2xy + y^2, x^3 - xy^2, x^3 - x^2y$
Scompongo:
$x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$
$x^3 - xy^2 = x(x^2 - y^2) = x(x + y)(x - y)$
$x^3 - x^2y = x^2(x - y)$
$MCD: x - y; mcm: x^2(x + y)(x - y)^2$
$4 - x^2, 4x - 8, x^2 - 4x + 4$
Scompongo:
$4 - x^2 = - (x + 2)(x - 2)$
$4x - 8 = 4(x - 2)$
$x^2 - 4x + 4 = (x - 2)(x - 2)$
$MCD: x - 2; mcm: 4(x - 2)^2(x + 2)$
$3x^2 - 6xy, 3x^3 - 6x^2 - 12x, 12x^2y^2 + 15x^2y^3$
Scompongo:
$3x^2 - 6xy = 3x(x - 2y)$
$3x^3 - 6x^2 - 12x = 3x(x^2 - 2x - 4)$
$12x^2y^2 + 15x^2y^3 = 3x^2y^2(5y + 4)$
$MCD: 3x; mcm: 3x^2y^2(x^2 - 2x - 4)(4 + 5y)(x - 2y)$
Si può esseri sicuri che essi siano rispettivamente il M.C.D. e il m.c.m. ?
Come si fa a capirlo?
Grazie
Risposte
hai scomposto i vari polinomi?
Spero (per te) che tu non li abbia trovati con il metodo delle divisioni successive (so che stai studiando Algebra, per cui mi è venuto il dubbio)...
Certo che li ho scomposti...non ho scritto la scomposizione perchè veniva un lavoro lungo..
mi sfugge la regola delle divisioni successive...
mi sfugge la regola delle divisioni successive...
qualche volta si può sapere attraverso la scomposizione, altre volte no.
non proporre tutti gli esercizi insieme, ma selezionane uno o due, scrivi le rispettive scomposizioni e poni i tuoi dubbi nello specifico.
non so se ti saremo d'aiuto, ma spero di sì.
non proporre tutti gli esercizi insieme, ma selezionane uno o due, scrivi le rispettive scomposizioni e poni i tuoi dubbi nello specifico.
non so se ti saremo d'aiuto, ma spero di sì.
"marcus112":
mi sfugge la regola delle divisioni successive...
Nulla di che, tranquillo.
L'anello dei polinomi a coefficienti in un campo è - esattamente come $ZZ$ - un dominio euclideo, cioè, detto in soldoni, puoi fare la divisione. E come si trova l'MCD in $ZZ$? Con l'algoritmo di Euclide o delle divisioni successive (per intenderci Bézout e compagnia).
Tuttavia, per fortuna $ZZ$ è anche un UFD (dominio a fattorizzazione unica: vale infatti il th fondamentale dell'aritmetica) per cui l'MCD si può trovare anche scomponendo in fattori primi i numeri e prendendo quelli comuni con il minimo esponente.
Non penso che $\mathbb K [x]$ sia sempre un UFD (le parole di Ada mi spingono a crederlo), almeno ci dovrei pensare un po': però di certo $\mathbb K[x]$ è un anello euclideo, per cui si può fare la divisione: operi esattamente come i numeri, solo che qui sono un macello di conti e rischi maggiormente di perderti. Insomma, un po' pesantino.
Pesante, come del resto questa mia inutile tirata algebrica.
Scusa la marea di robe inutili che ti ho detto, era per spiegarti il senso del mio intervento.
Sono sincera, non li ho guardati tutti, ma questo è sbagliato
$a - a^3=-a(a^2-1)=-a(a+1)(a-1)$
$1 - a^4=-(a^4-1)=-(a^2+1)(a^2-1)=-(a^2+1)(a+1)(a-1)$
$a^3 - 2a^2 + a=a(a^2-2a+1)=a(a-1)^2$
$MCD= a - 1$
$mcm: a(a^2 + 1)(a+1)(a - 1)^2$
"marcus112":
$a - a^3, 1 - a^4, a^3 - 2a^2 + a$
$MCD: a^2 - 1; mcm: a^2(a^2 + 1)(a^2 - 1)$
Grazie
$a - a^3=-a(a^2-1)=-a(a+1)(a-1)$
$1 - a^4=-(a^4-1)=-(a^2+1)(a^2-1)=-(a^2+1)(a+1)(a-1)$
$a^3 - 2a^2 + a=a(a^2-2a+1)=a(a-1)^2$
$MCD= a - 1$
$mcm: a(a^2 + 1)(a+1)(a - 1)^2$
Ho controllato anche con Derive....come $M.C.D.$ mi viene $a^2-1$...non capisco perchè però, all'inizio anche io avevo calcolato come $M.C.D.$: $a-1$
Grazie
Grazie
"Paolo90":
Non penso che $\K [x]$ sia sempre un UFD (le parole di Ada mi spingono a crederlo)
$K$ che è? Se è (come notazione standard) un campo allora $K[x]$ è addirittura un $ED \rarr PID \rarr UFD$
Se è un anello qualsiasi invece non è chiaramente detto...
Edit: Mi ero perso un pezzo della risposta di Paolo, comunque dominio euclideo implica anello a fattorizzazione unica
"marcus112":
Ho controllato anche con Derive....come $M.C.D.$ mi viene $a^2-1$...non capisco perchè però, all'inizio anche io avevo calcolato come $M.C.D.$: $a-1$
Grazie
Abbi pazienza, non mi interessa proprio che cosa dice Derive, IO ti dico che il mio è giusto e l'altro è sbagliato.
Se in un compito scrivi quello che ti ho detto io, allora l'esercizio sarà considerato giusto, se scrivi quello che dice Derive, avrai un'amara sorpresa.
I bachi di Derive non sono considerati alibi.
Ho provato a scomporli....come giustamente mi suggeriva adaBTTLS
così si vedono meglio!
Grazie
così si vedono meglio!
Grazie
[OT]
$K$ che è? Se è (come notazione standard) un campo allora $K[x]$ è addirittura un $ED \rarr PID \rarr UFD$
Se è un anello qualsiasi invece non è chiaramente detto...
Edit: Mi ero perso un pezzo della risposta di Paolo, comunque dominio euclideo implica anello a fattorizzazione unica[/quote]
Ah, ok. Sì, comunque, $K$ è un campo. Grazie della risposta; personalmente, mi sembrava un po' azzardato affermare così di brutto che fosse a fattorizzazione unica. Evidentemente mi sbagliavo. GRAZIE.
[/OT]
P.S. @marcus: scusa, ma prima che cosa facevi? Come sei arrivato ai risultati del tuo primo post se non hai scomposto i polinomi (e non hai usato le divisioni successive)?
"Gatto89":
[quote="Paolo90"]
Non penso che $\K [x]$ sia sempre un UFD (le parole di Ada mi spingono a crederlo)
$K$ che è? Se è (come notazione standard) un campo allora $K[x]$ è addirittura un $ED \rarr PID \rarr UFD$
Se è un anello qualsiasi invece non è chiaramente detto...
Edit: Mi ero perso un pezzo della risposta di Paolo, comunque dominio euclideo implica anello a fattorizzazione unica
[/quote]Ah, ok. Sì, comunque, $K$ è un campo. Grazie della risposta; personalmente, mi sembrava un po' azzardato affermare così di brutto che fosse a fattorizzazione unica. Evidentemente mi sbagliavo. GRAZIE.
[/OT]
P.S. @marcus: scusa, ma prima che cosa facevi? Come sei arrivato ai risultati del tuo primo post se non hai scomposto i polinomi (e non hai usato le divisioni successive)?
nel terzo ci dovrebbe essere $x^2$ e non $x^3$ nel mcm.
analogamente nell'ultimo $3x^2y^2$ e non $9x^3y$.
ricontrolla.
quanto alla domanda iniziale, in questi casi mi pare si possa rispondere affermativamente, perché sei riuscito a scomporre riducendo quasi tutto a monomi di grado qualsiasi e polinomi di primo grado, tranne un caso di polinomio di secondo grado ($x^2-2x-4$ nell'ultimo), di cui però si può facilmente dire che non ha fattori in comune con gli altri due polinomi della terna (il primo ed il terzo).
spero sia chiaro. ciao.
analogamente nell'ultimo $3x^2y^2$ e non $9x^3y$.
ricontrolla.
quanto alla domanda iniziale, in questi casi mi pare si possa rispondere affermativamente, perché sei riuscito a scomporre riducendo quasi tutto a monomi di grado qualsiasi e polinomi di primo grado, tranne un caso di polinomio di secondo grado ($x^2-2x-4$ nell'ultimo), di cui però si può facilmente dire che non ha fattori in comune con gli altri due polinomi della terna (il primo ed il terzo).
spero sia chiaro. ciao.
Ho ricontrollato....e ho corretto! Distrazione....ne sto preparando altri. Ma $x^2-2x-4$ non mi risulta scomponibile!
Grazie.
P.S. Per Paolo90...li avevo scomposti ma non avevo messo nel messaggio le varie scomposizioni...
Mi potresti fare un esempio di scomposizione di polinomio con il metodo delle divisioni successive?
Grazie per la collaborazione
Grazie.
P.S. Per Paolo90...li avevo scomposti ma non avevo messo nel messaggio le varie scomposizioni...
Mi potresti fare un esempio di scomposizione di polinomio con il metodo delle divisioni successive?
Grazie per la collaborazione
prego.
infatti il trinomio non è scomponibile in $QQ$ (è un trinomio particolare, e si vede facilmente, anche attraverso il teorema del resto e la regola di Ruffini, che non è divisibile per $x-a$ per alcun $a in QQ$). ti posso anticipare, se non lo sai già, che invece è scomponibile in $RR$ come $(x-1-sqrt5)*(x-1+sqrt5)$ (provare per credere!), ma di solito l'argomento non viene trattato quando si parla di scomposizione di polinomi.
infatti il trinomio non è scomponibile in $QQ$ (è un trinomio particolare, e si vede facilmente, anche attraverso il teorema del resto e la regola di Ruffini, che non è divisibile per $x-a$ per alcun $a in QQ$). ti posso anticipare, se non lo sai già, che invece è scomponibile in $RR$ come $(x-1-sqrt5)*(x-1+sqrt5)$ (provare per credere!), ma di solito l'argomento non viene trattato quando si parla di scomposizione di polinomi.
Ecco un'altra parte:
$x^3 - 8y^3, x^2 - 4y^2, x^3 - 4x^2y + 4xy^2$
Scompongo:
$x^3 - 8y^3 = (x - 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2)$
$x^2 - 4y^2 = (x + 2y)(x - 2y)$
$x^3 - 4x^2y + 4xy^2 = x(x^2 - 4xy + 4y^2) = x(x - 2y)^2$
$MCD: x-2y; mcm: x(x - 2y)^2(x + 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2)$
$m^2 + mn - m - n, m^2 - 1, m^2 - m + n - nm$
Scompongo
$m^2 + mn - m - n = m(m - 1) + n(m - 1) = (m + n)(m - 1)$
$m^2 - 1 = (m + 1)(m - 1)$
$m^2 - m + n - nm = m(m - 1) - n(m - 1) = (m - n)(m - 1)$
$MCD: m-1, mcm: (m + n)(m - 1)(m + 1)(m - n) $
$x^2 - 6x + 9, x^2 - 5x + 6, x^2 - x - 6$
Scompongo:
$x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$
$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$
$x^2 - x - 6 = (x + 2)(x - 3)$
$MCD: x-3; mcm: (x - 3)^2(x - 2)(x + 2) $
$x^2 + x - 2, x^2 - 4x + 3, x^3 - 1$
Scompongo:
$x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)$
$x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)$
$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$
$MCD: x-1; mcm: (x + 2)(x - 1)(x - 3)(x^2 + x + 1) $
$a - a^3, 1 - a^4, a^3 - 2a^2 + a$
Scompongo:
$a - a^3 = a(1 - a^2) = - a(a^2 - 1) = - a(a + 1)(a - 1)$
$1 - a^4 = (a^2 + 1)(1 - a^2) = - (a^2 + 1)(a^2 - 1) = - (a^2 + 1)(a + 1)(a - 1)$
$a^3 - 2a^2 + a = a(a^2 - 2a + 1) = a(a - 1)^2 $
$MCD: a-1; mcm: a(a^2 + 1)(a + 1)(a - 1)^2$
Dovrebbero risultare esatti!
PS: quel polinomio come dici tu è scomponibile in $R$; Quando si affronta la scomposizione in $R$? Una curiosità: negli argomenti successividi matematica qual è il tipo di scomposizione più frequente cioè quello che si incontra di più?
Grazie sempre
$x^3 - 8y^3, x^2 - 4y^2, x^3 - 4x^2y + 4xy^2$
Scompongo:
$x^3 - 8y^3 = (x - 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2)$
$x^2 - 4y^2 = (x + 2y)(x - 2y)$
$x^3 - 4x^2y + 4xy^2 = x(x^2 - 4xy + 4y^2) = x(x - 2y)^2$
$MCD: x-2y; mcm: x(x - 2y)^2(x + 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2)$
$m^2 + mn - m - n, m^2 - 1, m^2 - m + n - nm$
Scompongo
$m^2 + mn - m - n = m(m - 1) + n(m - 1) = (m + n)(m - 1)$
$m^2 - 1 = (m + 1)(m - 1)$
$m^2 - m + n - nm = m(m - 1) - n(m - 1) = (m - n)(m - 1)$
$MCD: m-1, mcm: (m + n)(m - 1)(m + 1)(m - n) $
$x^2 - 6x + 9, x^2 - 5x + 6, x^2 - x - 6$
Scompongo:
$x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$
$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$
$x^2 - x - 6 = (x + 2)(x - 3)$
$MCD: x-3; mcm: (x - 3)^2(x - 2)(x + 2) $
$x^2 + x - 2, x^2 - 4x + 3, x^3 - 1$
Scompongo:
$x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)$
$x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)$
$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$
$MCD: x-1; mcm: (x + 2)(x - 1)(x - 3)(x^2 + x + 1) $
$a - a^3, 1 - a^4, a^3 - 2a^2 + a$
Scompongo:
$a - a^3 = a(1 - a^2) = - a(a^2 - 1) = - a(a + 1)(a - 1)$
$1 - a^4 = (a^2 + 1)(1 - a^2) = - (a^2 + 1)(a^2 - 1) = - (a^2 + 1)(a + 1)(a - 1)$
$a^3 - 2a^2 + a = a(a^2 - 2a + 1) = a(a - 1)^2 $
$MCD: a-1; mcm: a(a^2 + 1)(a + 1)(a - 1)^2$
Dovrebbero risultare esatti!
PS: quel polinomio come dici tu è scomponibile in $R$; Quando si affronta la scomposizione in $R$? Una curiosità: negli argomenti successividi matematica qual è il tipo di scomposizione più frequente cioè quello che si incontra di più?
Grazie sempre
le scomposizioni e i risultati sono OK.
solo un'osservazione: $(a-1)^2=(1-a)^2$, per cui forse non serviva mettere in evidenza il "meno" nell'ultimo esercizio.
la scomposizione in $RR$ che ti ho proposto è la classica ottenuta dalla formula delle equazioni di 2° grado:
se $x_1$ e $x_2$ sono le soluzioni dell'equazione $ax^2+bx+c=0$, con $a,b,c in RR," "a!=0$, allora il trinomio si può scomporre come $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$
spero di aver soddisfatto la tua curiosità. rifletti un po' sul perché deve valere quanto ho appena scritto ...
per quanto riguarda il tipo di scomposizione più presente, non saprei che risponderti, direi tutti, ... o quelli che stanno più simpatici ai tuoi proff.!
solo un'osservazione: $(a-1)^2=(1-a)^2$, per cui forse non serviva mettere in evidenza il "meno" nell'ultimo esercizio.
la scomposizione in $RR$ che ti ho proposto è la classica ottenuta dalla formula delle equazioni di 2° grado:
se $x_1$ e $x_2$ sono le soluzioni dell'equazione $ax^2+bx+c=0$, con $a,b,c in RR," "a!=0$, allora il trinomio si può scomporre come $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$
spero di aver soddisfatto la tua curiosità. rifletti un po' sul perché deve valere quanto ho appena scritto ...
per quanto riguarda il tipo di scomposizione più presente, non saprei che risponderti, direi tutti, ... o quelli che stanno più simpatici ai tuoi proff.!
Intanto grazie....
$a - a^3 = a(1 - a^2) =a(a+1)(1-a)= - a(a^2 - 1) = - a(a + 1)(a - 1)$
Ho fatto così per far vedere che nei calcoli $a(1-a^2)=-a(a^2-1)$
Non so se ti riferivi a questo!!
Spero di essermi spiegato...
$a - a^3 = a(1 - a^2) =a(a+1)(1-a)= - a(a^2 - 1) = - a(a + 1)(a - 1)$
Ho fatto così per far vedere che nei calcoli $a(1-a^2)=-a(a^2-1)$
Non so se ti riferivi a questo!!
Spero di essermi spiegato...
prego.
mi riferivo al fatto che si poteva benissimo scrivere così:
$a-a^3=a(1-a^2)=a(1+a)(1-a)$
$1-a^4=(1+a^2)(1-a^2)=(1+a^2)(1+a)(1-a)$
$a^3-2a^2+a=a(a^2-2a+1)=a(1-a)^2$
è chiaro?
naturalmente, è corretto anche come hai scritto tu.
mi riferivo al fatto che si poteva benissimo scrivere così:
$a-a^3=a(1-a^2)=a(1+a)(1-a)$
$1-a^4=(1+a^2)(1-a^2)=(1+a^2)(1+a)(1-a)$
$a^3-2a^2+a=a(a^2-2a+1)=a(1-a)^2$
è chiaro?
naturalmente, è corretto anche come hai scritto tu.
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