DIVISIONE POLINOMIALE ma il prof è fuso??
Sono il papà di un ragazzino che frequenta la prima liceo scientifico, trattando le divisioni polinomiali ha osservato che se si sostituiscono dei numeri matematici alle lettere si hanno risultati diversi rispetto alla divisione matematica, cioè:
per esempio (a3-4a+5):(a2-3) si ottiene con la divisione polinomiale Q=a e r=5-a
ma se noi diamo un valora ad a non sempre c'è coincidenza tra i risultati, cioè
per esempio a=1 avremo (1-4+5):(1-3) quindi 2:(-2)= ovvero Q=-1 e r=0
che da un resto diverso rispetto a quello delle divisione polinomiale r=5-a
Prospettando tutto ciò al prof di matematica ha avuto una risposta del genere: mmmm ma sai che non ci avevo pensato, dammi qualche giorno che ci rifletto
dopo due giorni gli presenta una sorta di relazione dove osserva che "le relazioni polinommiali e numeriche coincidono ancfhe nel quoziente e resto quando d>r mentre nel caso in cui d< o uguale a r il calcolo resta valido e verificabile, ma quoziente e resto non coincidono coi valori che troveremmo normalmente eseguendo la divisione numerica"
ma io dico: ma che vuol dire sta cosa, cioè se già mio figlio stava confuso dopo sta risposta non ci capirà proprio nulla.
qualcuno di voi ha informazioni sull'argomento?
grazie
per esempio (a3-4a+5):(a2-3) si ottiene con la divisione polinomiale Q=a e r=5-a
ma se noi diamo un valora ad a non sempre c'è coincidenza tra i risultati, cioè
per esempio a=1 avremo (1-4+5):(1-3) quindi 2:(-2)= ovvero Q=-1 e r=0
che da un resto diverso rispetto a quello delle divisione polinomiale r=5-a
Prospettando tutto ciò al prof di matematica ha avuto una risposta del genere: mmmm ma sai che non ci avevo pensato, dammi qualche giorno che ci rifletto
dopo due giorni gli presenta una sorta di relazione dove osserva che "le relazioni polinommiali e numeriche coincidono ancfhe nel quoziente e resto quando d>r mentre nel caso in cui d< o uguale a r il calcolo resta valido e verificabile, ma quoziente e resto non coincidono coi valori che troveremmo normalmente eseguendo la divisione numerica"
ma io dico: ma che vuol dire sta cosa, cioè se già mio figlio stava confuso dopo sta risposta non ci capirà proprio nulla.
qualcuno di voi ha informazioni sull'argomento?
grazie
Risposte
I calcoli letterali danno quei risultati che restano veri qualunque sia il valore attribuito alle lettere. In questo caso (ricordando che dire che $a:b$ dà quoziente $q$ e resto $r$ significa che $a=q*b+r$, con $r
Per particolari valori numerici di $a$ è possibile che il resto sia divisibile per il divisore e che la divisione possa continuare, ma questo non succede per ogni possibile $a$ e quindi il calcolo letterale non può prevederlo.
Per particolari valori numerici di $a$ è possibile che il resto sia divisibile per il divisore e che la divisione possa continuare, ma questo non succede per ogni possibile $a$ e quindi il calcolo letterale non può prevederlo.
"LucaP1998":
Sono il papà di un ragazzino che frequenta la prima liceo scientifico, trattando le divisioni polinomiali ha osservato che se si sostituiscono dei numeri matematici alle lettere si hanno risultati diversi rispetto alla divisione matematica, cioè:
per esempio (a3-4a+5):(a2-3) si ottiene con la divisione polinomiale Q=a e r=5-a
ma se noi diamo un valora ad a non sempre c'è coincidenza tra i risultati, cioè
per esempio a=1 avremo (1-4+5):(1-3) quindi 2:(-2)= ovvero Q=-1 e r=0
che da un resto diverso rispetto a quello delle divisione polinomiale r=5-a
$(a^3-4a+5):(a^2-3)=a$ resto=$5-a$
$(a^2-3)(a)+(5-a)=a^3-4a+5$
$a=1$
$(1-3)(1)+(5-1)=1-4+5$
$-2+4=+2$
$+2=+2$
"LucaP1998":
Prospettando tutto ciò al prof di matematica ha avuto una risposta del genere: mmmm ma sai che non ci avevo pensato, dammi qualche giorno che ci rifletto
dopo due giorni gli presenta una sorta di relazione dove osserva che "le relazioni polinommiali e numeriche coincidono ancfhe nel quoziente e resto quando d>r mentre nel caso in cui d< o uguale a r il calcolo resta valido e verificabile, ma quoziente e resto non coincidono coi valori che troveremmo normalmente eseguendo la divisione numerica"
La divisione è questa: $ a^3 - 4a +5 =a(a^2 - 3)+(5-a) $
oppure (che vuol dire la stessa cosa) puoi lasciare il denominatore al primo membro:
$(a^3 - 4a +5)/(a^2 - 3) = a +(5-a)/(a^2-3)$
Nel caso $a=1$ tornano tutti i conti:
$(1 - 4 +5)/(1 - 3) = 1 +(5-1)/(1-3)$
$2/(-2) = 1 + 4/(-2)$
$-1 = 1 - 2$
$-1 = -1$
Il tuo errore stava nel fatto che non hai diviso $5-a$ per $a^2 - 3$, e inoltre hai arbitrari8amente deciso che $Q=-1$ e $R=0$, mentre come hai visto $Q=1, R=4$. Il valore -1 è semplicemente il valore complessivo del secondo membro: $1 +(5-1)/(1-3) = -1 = Q + R/D$.
Quando devi fare una divisione di polinomi, in generale infatti funziona così:
se $D(x)$ è diverso da 0, e se il GRADO (cioè il massimo esponente della lettera) di $A(x)$ è maggiore o uguale a quello di $D(x)$, allora:
$(A(x))/(D(x)) = Q(x) + (R(x))/(D(x))$
cioè
$A(x) = Q(x)D(x) + R(x)$
dove $Q(x)$ è il quoziente e $R(x)$ è il resto.
Poi: non vorrei sbagliarmi perché in realtà non ho capito molto, ma secondo me quello che ha detto il prof è questo: se $D>R$, allora questa operazione funziona "normalmente" anche se al posto dei polinomi usiamo dei numeri (ad esempio, se prendo $A=9, D=4$ allora avrei $9/4 = 2 + 1/4 $ cioè $Q= 2$ e $R = 1
...Scusami ma non ti sembra un po' fuori luogo tirare in ballo gli omomorfismi e gli anelli per rispondere a una domanda su un argomento del biennio di liceo?
oppure (che vuol dire la stessa cosa) puoi lasciare il denominatore al primo membro:
$(a^3 - 4a +5)/(a^2 - 3) = a +(5-a)/(a^2-3)$
Nel caso $a=1$ tornano tutti i conti:
$(1 - 4 +5)/(1 - 3) = 1 +(5-1)/(1-3)$
$2/(-2) = 1 + 4/(-2)$
$-1 = 1 - 2$
$-1 = -1$
Il tuo errore stava nel fatto che non hai diviso $5-a$ per $a^2 - 3$, e inoltre hai arbitrari8amente deciso che $Q=-1$ e $R=0$, mentre come hai visto $Q=1, R=4$. Il valore -1 è semplicemente il valore complessivo del secondo membro: $1 +(5-1)/(1-3) = -1 = Q + R/D$.
Quando devi fare una divisione di polinomi, in generale infatti funziona così:
se $D(x)$ è diverso da 0, e se il GRADO (cioè il massimo esponente della lettera) di $A(x)$ è maggiore o uguale a quello di $D(x)$, allora:
$(A(x))/(D(x)) = Q(x) + (R(x))/(D(x))$
cioè
$A(x) = Q(x)D(x) + R(x)$
dove $Q(x)$ è il quoziente e $R(x)$ è il resto.
Poi: non vorrei sbagliarmi perché in realtà non ho capito molto, ma secondo me quello che ha detto il prof è questo: se $D>R$, allora questa operazione funziona "normalmente" anche se al posto dei polinomi usiamo dei numeri (ad esempio, se prendo $A=9, D=4$ allora avrei $9/4 = 2 + 1/4 $ cioè $Q= 2$ e $R = 1
"TeM":
Quoto giammaria.
Infatti scrivere \[ ( a^3 - 4a + 5 ) : ( a^2 - 3 ) \; \Rightarrow \; Q = a, \; \; R = 5 - a \] significa che vale la seguente identità in \(\mathbb{Z}[a]\) \[ (a^3 - 4a + 5) = (a)\cdot(a^2 - 3) + (5 - a). \] Quando qui sostituisci \(a=k\), con \(k\in \mathbb{Z}\), in generale, ottieni il quoziente e il resto della divisione se solo se \[ 0 \le 5 - k < |k^2-3| \] il che è falso, ad esempio, per \(k=1\).
La sostituzione \(a=k\) ti fornisce un omomorfismo \(\mathbb{Z}[a] \rightarrow \mathbb{Z}/k\mathbb{Z}\), quindi è naturale aspettarsi che il resto non sia sempre quello "giusto", ma quello "giusto" modulo un multiplo di \(k\).
...Scusami ma non ti sembra un po' fuori luogo tirare in ballo gli omomorfismi e gli anelli per rispondere a una domanda su un argomento del biennio di liceo?
"TeM":
Quoto giammaria.
Infatti scrivere \[ ( a^3 - 4a + 5 ) : ( a^2 - 3 ) \; \Rightarrow \; Q = a, \; \; R = 5 - a \] significa che vale la seguente identità in \(\mathbb{Z}[a]\) \[ (a^3 - 4a + 5) = (a)\cdot(a^2 - 3) + (5 - a). \] Quando qui sostituisci \(a=k\), con \(k\in \mathbb{Z}\), in generale, ottieni il quoziente e il resto della divisione se solo se \[ 0 \le 5 - k < |k^2-3| \] il che è falso, ad esempio, per \(k=1\).
La sostituzione \(a=k\) ti fornisce un omomorfismo \(\mathbb{Z}[a] \rightarrow \mathbb{Z}/k\mathbb{Z}\), quindi è naturale aspettarsi che il resto non sia sempre quello "giusto", ma quello "giusto" modulo un multiplo di \(k\).
La tua risposta ci ho messo un pò a capirla non conoscendo cosa è un omorfismo, ma è perfetta. Il ragionamento che ho fatto io è che per la divisione con resto in Z è necessario che \[ 0 \le r < |divisore| \] mentre per la divisione polinomiale sul resto non ci sono limitazioni. Se vogliamo che le due operazioni coincidano dobbiamo imporre la stessa limitazione anche al resto della divisione polinomiale e cioè \[ 0 \le 5 - a < |a^2-3| \].
E' la stessa cosa che dici tu ma con un linguaggio più comprensibile.
In pratica, per gli interi che soddisfano la condizione posta, le operazioni sono le stesse perciò i risultati coincidono, per gli interi che non la soddisfano stiamo facendo due operazioni diverse(perchè non sono definite allo stesso modo) e i risultati possono non coincidere.
P.S: per chi fosse interessato i numeri interi che soddisfano la condizione posta sono quelli compresi tra 3 e 5 e quelli minori o uguali a -4, con questi numeri i quozienti e i resti della divisione numerica coincidono con quelli della divisione polinomiale come si può verificare.
"TeM":
Quoto giammaria.
Infatti scrivere \[ ( a^3 - 4a + 5 ) : ( a^2 - 3 ) \; \Rightarrow \; Q = a, \; \; R = 5 - a \] significa che vale la seguente identità in \(\mathbb{Z}[a]\) \[ (a^3 - 4a + 5) = (a)\cdot(a^2 - 3) + (5 - a). \] Quando qui sostituisci \(a=k\), con \(k\in \mathbb{Z}\), in generale, ottieni il quoziente e il resto della divisione se solo se \[ 0 \le 5 - k < |k^2-3| \] il che è falso, ad esempio, per \(k=1\).
La sostituzione \(a=k\) ti fornisce un omomorfismo \(\mathbb{Z}[a] \rightarrow \mathbb{Z}/k\mathbb{Z}\), quindi è naturale aspettarsi che il resto non sia sempre quello "giusto", ma quello "giusto" modulo un multiplo di \(k\).
Ma se il secondo membro è un numero negativo, come funziona?
Non funziona; ci ho riflettuto e ti dico le mie conclusioni. Sia con i numeri che con l'algebra si concorda nel dire che se $N:D$ dà quoziente $Q$ e resto $R$ vale la formula
$N/D=Q+R/D$; ad esempio scriveremmo $45/7=6+3/7$.
Sono però vere anche le formule $45/7=5+10/7$ e $45/7=8+(-11)/7$
e diciamo che il quoziente è 6 ed il resto 3, scegliendo la prima riga, perché abbiamo definito il resto come un numero positivo minore del divisore. Proprio questa definizione cambia nel passare al calcolo letterale, in cui il resto è invece un polinomio di grado inferiore a quello del divisore: la divisione quindi si arresta a quel punto, mentre sostituendo valori numerici può capitare di dover ancora proseguire oppure di doversi fermare prima.
$N/D=Q+R/D$; ad esempio scriveremmo $45/7=6+3/7$.
Sono però vere anche le formule $45/7=5+10/7$ e $45/7=8+(-11)/7$
e diciamo che il quoziente è 6 ed il resto 3, scegliendo la prima riga, perché abbiamo definito il resto come un numero positivo minore del divisore. Proprio questa definizione cambia nel passare al calcolo letterale, in cui il resto è invece un polinomio di grado inferiore a quello del divisore: la divisione quindi si arresta a quel punto, mentre sostituendo valori numerici può capitare di dover ancora proseguire oppure di doversi fermare prima.
ho capito
http://imageshack.us/photo/my-images/233/figxx.png/
Non c'entra quasi nulla col post ma è l'occasione per mostrare una curiosa generalizzazione (forse già conosciuta) della nota regola di Ruffini. Sia come sia, eccola.
Si voglia eseguire la divisione:
\((x^4+5x^3+2x^2-15):(x^2-2x+3)\)
A) I due polinomi devono essere ordinati secondo le potenze decrescenti della lettera rispetto a cui si esegue la divisione, supplendo con qualche zero le eventuali potenze mancanti. Inoltre il primo coefficiente del divisore deve essere 1. Se non lo è occorre dividere il divisore per il suddetto coefficiente, ricordando però che alla fine il quoziente ottenuto va diviso per quel coefficiente.
B) Preparate una griglia di (m+2)x(n+2) caselle, dove m=grado dividendo, n=grado divisore ( nel nostro caso 6x4=24 caselle).
C) Nella prima riga, a partire dalla seconda casella, mettete i coeff. del dividendo
D1) Nella prima colonna, a partire dalla seconda casella, mettete i coeff. del divisore cambiati di segno, cominciando dall'ultimo e tranne il primo coeff. ( che è =1).
D2)"Abbassate " il primo coeff. del dividendo nell'ultima riga. Vedi fig.A
E) Moltiplicate il coeff."abbassato" (1, nel nostro caso) per i coeff. del divisore ed i prodotti ottenuti scriveteli in diagonale nelle righe immediatamente superiori.
F) Sommate i valori scritti nella terza colonna, ottenendo 7 nel nostro caso.Vedi fig.B
G) Ripetete per il 7 così ottenuto l'operazione e sommate i valori della quarta colonna, ottenendo 13 nel nostro caso.
H) Ripetete le operazioni fino a quando non compare un valore sotto l'ultimo coeff.del dividendo ( -39, nel nostro caso). Vedi fig.C
Conclusione.
Il polinomio quoziente Q(x), che deve essere di secondo grado ed ha quindi 3 coeff., ha come coefficienti i primi 3 valori dell'ultima riga. I restanti due valori sono i coeff. del resto R(x) che è di primo grado. Pertanto avremo:
\(Q(x)=x^2+7x+13;R(x)=5x-54\)
Non c'entra quasi nulla col post ma è l'occasione per mostrare una curiosa generalizzazione (forse già conosciuta) della nota regola di Ruffini. Sia come sia, eccola.
Si voglia eseguire la divisione:
\((x^4+5x^3+2x^2-15):(x^2-2x+3)\)
A) I due polinomi devono essere ordinati secondo le potenze decrescenti della lettera rispetto a cui si esegue la divisione, supplendo con qualche zero le eventuali potenze mancanti. Inoltre il primo coefficiente del divisore deve essere 1. Se non lo è occorre dividere il divisore per il suddetto coefficiente, ricordando però che alla fine il quoziente ottenuto va diviso per quel coefficiente.
B) Preparate una griglia di (m+2)x(n+2) caselle, dove m=grado dividendo, n=grado divisore ( nel nostro caso 6x4=24 caselle).
C) Nella prima riga, a partire dalla seconda casella, mettete i coeff. del dividendo
D1) Nella prima colonna, a partire dalla seconda casella, mettete i coeff. del divisore cambiati di segno, cominciando dall'ultimo e tranne il primo coeff. ( che è =1).
D2)"Abbassate " il primo coeff. del dividendo nell'ultima riga. Vedi fig.A
E) Moltiplicate il coeff."abbassato" (1, nel nostro caso) per i coeff. del divisore ed i prodotti ottenuti scriveteli in diagonale nelle righe immediatamente superiori.
F) Sommate i valori scritti nella terza colonna, ottenendo 7 nel nostro caso.Vedi fig.B
G) Ripetete per il 7 così ottenuto l'operazione e sommate i valori della quarta colonna, ottenendo 13 nel nostro caso.
H) Ripetete le operazioni fino a quando non compare un valore sotto l'ultimo coeff.del dividendo ( -39, nel nostro caso). Vedi fig.C
Conclusione.
Il polinomio quoziente Q(x), che deve essere di secondo grado ed ha quindi 3 coeff., ha come coefficienti i primi 3 valori dell'ultima riga. I restanti due valori sono i coeff. del resto R(x) che è di primo grado. Pertanto avremo:
\(Q(x)=x^2+7x+13;R(x)=5x-54\)
Se qualche studente volenteroso vuol trarre spunto da quanto scritto nel post precedente
(il cui autore và dovutamente ringraziato
..),
per buttar giù due righe di codice che permettano di far svolgere,
ad un qualunque "idiota sapiente che capisce solo 0 ed 1",
conti tradizionalmente noiosi,
sappia che è il benvenuto:
saluti dal web.
(il cui autore và dovutamente ringraziato
..),per buttar giù due righe di codice che permettano di far svolgere,
ad un qualunque "idiota sapiente che capisce solo 0 ed 1",
conti tradizionalmente noiosi,
sappia che è il benvenuto:
saluti dal web.
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