Divisione polinomiale
Salve a tutti
ripassando mi sono venuti due dubbi sulla divisione tra polinomi:
1) Qual è la dimostrazione dell'algoritmo usato per trovare resto e quoziente di due polinomi?
2) Il teorema del resto dice che: il resto della divisione di $ P(x) $ per $ x-a $, dove $ a $ è un numero reale, è uguale a $ P(a) $. Per dimostrarlo, consideriamo $ P(x)=Q(x)(x-a)+R $, dove $ Q(x) $ è il quoziente e $ R $ il resto; sostituendo $ a $ ad $ x $, otteniamo $ P(a)=R $, da cui la tesi. Ora, il mio dubbio è: questa dimostrazione non è valida se e soltanto se il resto $ R $ non dipende dal valore assunto da $ x $? Quindi non bisognerebbe prima dimostrare che $ [P(x)]/(x-a) $ dà resto un numero non dipendente da $ x $? Come si fa?
Grazie come sempre

1) Qual è la dimostrazione dell'algoritmo usato per trovare resto e quoziente di due polinomi?
2) Il teorema del resto dice che: il resto della divisione di $ P(x) $ per $ x-a $, dove $ a $ è un numero reale, è uguale a $ P(a) $. Per dimostrarlo, consideriamo $ P(x)=Q(x)(x-a)+R $, dove $ Q(x) $ è il quoziente e $ R $ il resto; sostituendo $ a $ ad $ x $, otteniamo $ P(a)=R $, da cui la tesi. Ora, il mio dubbio è: questa dimostrazione non è valida se e soltanto se il resto $ R $ non dipende dal valore assunto da $ x $? Quindi non bisognerebbe prima dimostrare che $ [P(x)]/(x-a) $ dà resto un numero non dipendente da $ x $? Come si fa?
Grazie come sempre

Risposte
"siddy98":
non bisognerebbe prima dimostrare che $ [P(x)]/(x-a) $ dà resto un numero non dipendente da $ x $? Come si fa?
Per definizione, il resto di una divisione fra polinomi è un polinomio di grado inferiore al divisore: ad esempio se dividi per $2x^3-5x+1$ il resto deve essere di grado inferiore a tre. Nella divisione per $x-a$ il resto deve essere di grado inferiore ad uno, cioè una costante.
Non ci sono dimostrazioni da fare: lo dice la definizione.