Divisibilità
Dimostrare che $11^(n+2)+12^(2n+1)$ è divisibile per 133 per qualsiasi numero naturale n.
Andiamo per induzione.
Poniamo $P(n)=11^(n+2)+12^(2n+1)$
$P(0)$ è banalmente vera.
Supponiamo vera $11^(n+2)+12^(2n+1)=133N$
$11^(n+3)+12^(2n+3)=11^(n+1+2)+12^(2n+1+2)=11*11^(n+2)+12^2*12^(2n+1)=(11^(n+2)+12^(2n+1))+10*11^(n+2)+143*12^(2n+1)=133N+1210*11^n+1716*12^(2n)$
Come posso dimostrare ora che l'ultima espressione è divisibile per 133?
Andiamo per induzione.
Poniamo $P(n)=11^(n+2)+12^(2n+1)$
$P(0)$ è banalmente vera.
Supponiamo vera $11^(n+2)+12^(2n+1)=133N$
$11^(n+3)+12^(2n+3)=11^(n+1+2)+12^(2n+1+2)=11*11^(n+2)+12^2*12^(2n+1)=(11^(n+2)+12^(2n+1))+10*11^(n+2)+143*12^(2n+1)=133N+1210*11^n+1716*12^(2n)$
Come posso dimostrare ora che l'ultima espressione è divisibile per 133?
Risposte
$133N+1210*11^n+1716*12^(2n)$ è sicuramente divisibile per $133$ perchè $1210+1716=2926$, che è divisibile per $133$.
PREMESSA
non vi stranite per come scrivo le formule... su questo computer NON sono autorizzato a scaricare alcun programma, scusatemi, ma bisogna accontentarsi....
ALLORA,
basta dimostrare che
T = 1210*11^k+1716*12^2k e' sivisibile per 133,
cioe' che e' congruo a 0 mod. 133
ora
1210-=13 (mod 133)
11^k e' invece congruo a 11, 121 o 1 a seconda se k sia congruo a 1, a 2 o 0 mod3.
Di conseguenza
1210*11^k -=13 se k-=0 mod3
1210*11^k -=10 se k-=1 mod3
1210*11^k -=110 se k-=2 mod3
Analogamente
1716-=120 mod 133
e
12^(2k)-= 1, 123 o 23 a seconda dei valori di k
per cui si ha che
1716*12^2k-=120 se k-=0 mod3
1716*12^2k-=123 se k-=1 mod3
1716*12^2k-=23 se k-=2 mod3
Di conseguenza per qualunque valore di k
T-=0 mod 133
basta fare la somma...
Ti torna, Giuseppe?
non vi stranite per come scrivo le formule... su questo computer NON sono autorizzato a scaricare alcun programma, scusatemi, ma bisogna accontentarsi....
ALLORA,
basta dimostrare che
T = 1210*11^k+1716*12^2k e' sivisibile per 133,
cioe' che e' congruo a 0 mod. 133
ora
1210-=13 (mod 133)
11^k e' invece congruo a 11, 121 o 1 a seconda se k sia congruo a 1, a 2 o 0 mod3.
Di conseguenza
1210*11^k -=13 se k-=0 mod3
1210*11^k -=10 se k-=1 mod3
1210*11^k -=110 se k-=2 mod3
Analogamente
1716-=120 mod 133
e
12^(2k)-= 1, 123 o 23 a seconda dei valori di k
per cui si ha che
1716*12^2k-=120 se k-=0 mod3
1716*12^2k-=123 se k-=1 mod3
1716*12^2k-=23 se k-=2 mod3
Di conseguenza per qualunque valore di k
T-=0 mod 133
basta fare la somma...
Ti torna, Giuseppe?
"leonardo":
$133N+1210*11^n+1716*12^(2n)$ è sicuramente divisibile per $133$ perchè $1210+1716=2926$, che è divisibile per $133$.
c'e' qualcosa che non mi quadra....
stai dicendo che un numero del tipo
1210*x^k+1716*y^2k e' divisibile per 133 siccome 1210+1716 lo e'?
ma se x=1, y=2, k=1 si ottiene
1210 + 6864 = 8074
che non e' divisibile per 133...
"Giusepperoma":
[quote="leonardo"]$133N+1210*11^n+1716*12^(2n)$ è sicuramente divisibile per $133$ perchè $1210+1716=2926$, che è divisibile per $133$.
c'e' qualcosa che non mi quadra....
stai dicendo che un numero del tipo
1210*x^k+1716*y^2k e' divisibile per 133 siccome 1210+1716 lo e'?
ma se x=1, y=2, k=1 si ottiene
1210 + 6864 = 8074
che non e' divisibile per 133...[/quote]
No! Io non intendevo quello, ma è $1210*11^n$ sicuramente divisibile per 11 perchè multiplo.
Non ho capito i calcoli di Leonardo, cmq Giuseppe87X mi sà che hai sbagliato i calcoli (l'ultimo passaggio!)... Prova a rifarli un attimo mettendo in evidenza il passo induttivo... Ti verrà un'espressione somma di multipli di 133...
Anche io mi aspettavo una somma di multipli di 133...ora ricontrollo anche se già ieri l'ho controllato tante volte.
Del resto 10*11^3 +1 non è divisibile per 133... o la tesi è falsa oppure i conti sono sbagliati 
ho controllato, mi sembra tutto giusto....
L'espressione per il caso (n+1) è:
$11*[11^(n+2)+12^(2n+1)]+133*12^(2n+1)$
Guarda se torna...
ps: visto che per n=0 viene 133, 133 è anche il MCD della famiglia di quei numeri facendo variare n nei naturali... carino a dirlo così
$11*[11^(n+2)+12^(2n+1)]+133*12^(2n+1)$
Guarda se torna...
ps: visto che per n=0 viene 133, 133 è anche il MCD della famiglia di quei numeri facendo variare n nei naturali... carino a dirlo così
i conti di Giuseppe sono corretti, anche se non viene una somma di multipli di 133 (sarebbe stato troppo facile ) la somma degli ultimi due termini e' SEMPRE un multiplo di 133 come ho dimostrato sopra....
se non e' chiaro qualcosa della mia dimostrazione basta chiedere...
) la somma degli ultimi due termini e' SEMPRE un multiplo di 133 come ho dimostrato sopra....se non e' chiaro qualcosa della mia dimostrazione basta chiedere...
scusa GiuseppeRoma... pensavo Giuseppe87X volesse terminare con l'induzione....
cmq ammetto che non ho capito nulla nè dei tuoi conti nè di quelli di Leonardo e non capisco cosa state dimostrando... non capisco da dove escono fuori i vostri numeri... e a quanto pare non capisco neanche i conti di Giuseppe87x! (lo smile chiarirà il tono di questa mia frase! 
)...
Cmq se capisce Giuseppe87X è tutto a posto...
cmq ammetto che non ho capito nulla nè dei tuoi conti nè di quelli di Leonardo e non capisco cosa state dimostrando... non capisco da dove escono fuori i vostri numeri... e a quanto pare non capisco neanche i conti di Giuseppe87x!
(lo smile chiarirà il tono di questa mia frase! )... Cmq se capisce Giuseppe87X è tutto a posto
...
"Thomas":
pensavo Giuseppe87X volesse terminare con l'induzione....
Appunto, vorrei portare a termine la dimostrazione con l'induzione.
Giuseppe non metto in dubbio il tuo procedimento però ancora non ho molta familiarità con quel modo di operare...
vedi... una volta arrivati dove era arrivato il mio omonimo, la parte induttiva e' terminata!
Ora evidentemente 133N e' multiplo di 133, quindi bisogna dimostrare che la somma degli altri due e' multiplo di 133, mi segui?
Per esempio, 13 e 7 non sono multipli di 5, ma 13+7 lo e', quindi quello che conta e' la somma
(come si dice.... "E' la somma che fa il totalt!!!)
Se non ci si trova in un caso fortunato (somma di multipli di 1330, per dimostrare che una somma e' divisibile per qualcosa, si DEVE usare l'aritmetica modulare o delle congruenze, con il simbolo "-=" indicavo "congruo"
Se non conosci questa branca della Matematica e' chiaro che i miei conti non hanno senso...
Ora evidentemente 133N e' multiplo di 133, quindi bisogna dimostrare che la somma degli altri due e' multiplo di 133, mi segui?
Per esempio, 13 e 7 non sono multipli di 5, ma 13+7 lo e', quindi quello che conta e' la somma
(come si dice.... "E' la somma che fa il totalt!!!
)Se non ci si trova in un caso fortunato (somma di multipli di 1330, per dimostrare che una somma e' divisibile per qualcosa, si DEVE usare l'aritmetica modulare o delle congruenze, con il simbolo "-=" indicavo "congruo"
Se non conosci questa branca della Matematica e' chiaro che i miei conti non hanno senso...
"giuseppe87x":
Dimostrare che $11^(n+2)+12^(2n+1)$ è divisibile per 133 per qualsiasi numero naturale n.
Buh, dico anche la mia, esagerando coi dettagli! Per ogni $n \in \mathbb{Z}$, vale $11^(n+2)+12^(2n+1) \equiv 11^2 \cdot 11^n + 12 \cdot (11^2)^n \equiv -12 \cdot 11^n + 12 \cdot 11^n \equiv 0 \bmod 133$. FINE...
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