Disuguaglianze $>= 1$

[Giova411]

Raga sono andato nel pallone!!!:oops:

Come si risolve questa:

$ (x^2+4x+3)/(x^2+5x)>=1 $

sul libro mi dice che è soddisfatta per $0
Poi anche questa:

$(52-k)/(49-k)>=1$

qua devo trovare il massimo che è per $k=1$... Perché?

GRAZIE

[cozzataddeo]

"Giova411":
Come si risolve questa:

$ (x^2+4x+3)/(x^2+5x)>=1 $

sul libro mi dice che è soddisfatta per $0

Con qualche passaggio algebrico si ha

$(-x+3)/(x^2+5x)>=0$

si studia il segno del numeratore, il segno del denominatore e poi si applica la regola dei segni.

"Giova411":Poi anche questa:

$(52-k)/(49-k)>=1$

qua devo trovare il massimo che è per $k=1$... Perché?

Qui non ho ben capito cosa chiede l'esercizio...

[Giova411]

Si grazie, ma nel primo il libro dimentica l'uguale o sbaglio? Come andrebbe messo?


Nel secondo dovrei trovare i valori di $k$ che rendono massima la disuguaglianza. (e' ricavato da un problema di prob..) Quindi il libro dice che la prob è massima per $k=1$. Però non capisco come ci sia arrivato.

[amel3]

"Giova411":Si grazie, ma nel primo il libro dimentica l'uguale o sbaglio? Come andrebbe messo?

$0

[Giova411]

Ok, che scemo che sono... GRAZIE

Il secondo? Lo so che è una cavolata ma non ci sono arrivato ancora...

[amel3]

Ma cosa vuol dire il secondo? La disuguaglianza è verificata per $k<49$...

[cozzataddeo]

Forse il secondo esercizio chiede per quale $k$ è massima la differenza $(52-k)/(49-k)-1$ ? Può essere? Se fosse cosí però il massimo non si ha per $k=1$, tra l'altro qual'è il dominio di $k$ ($k \in RR, ZZ, ...$)?

[Giova411]

Si scusate. Forse non scrivendo il contesto in cui arrivo lì, ho tralasciato delle informazioni. Trattandosi di variabili aleatorie discrete dovrebbe essere Z il dominio. O Sbaglio?

In riferimento alla seconda disuguaglianza, il problema era:
Le carte di un mazzo vengono girate ad una ad una. Qual è la prob che il primo asso appaia alla k-esima carta? Qual è il valore di k più probabile?

Per quest'ultima domanda si arriva a vedere per quali valori di $k$, $p_k$ è massima. Quindi per ogni valore di $k$ bisogna avere: $p_k/(p_(k+1)) >= 1$

vari calcoli, ok chiari. Arriva a:
$(52-k)/(49-k)>=1$

Qui il libro dice che la prob è massima per $k=1$

[amel3]

Secondo me c'è qualcosa che non va nel passare da qui

Per quest'ultima domanda si arriva a vedere per quali valori di $k$, $p_k$ è massima. Quindi per ogni valore di $k$ bisogna avere: $p_k/(p_(k+1)) >= 1$

a qui

Si ha $(52-k)/(49-k)>=1$

[cozzataddeo]

"Giova411":Si scusate. Forse non scrivendo il contesto in cui arrivo lì, ho tralasciato delle informazioni. Trattandosi di variabili aleatorie discrete dovrebbe essere Z il dominio. O Sbaglio?

In generale la tua affermazione non è corretta. Una variabile aleatoria discreta assume i propri valori da un insieme discreto il quale però può essere composto da una collezione di valori qualsiasi, purché non formino un continuo. Ad esempio si potrebbe avere una variabile aleatoria $x$ che assume i valori ${1/2, -sqrt3, pi}$ in modo equiprobabile: $x$ è una variabile aleatoria discreta ma il suo campo di variabilità non ha nessun elemento appartenente a $ZZ$.
In questo caso specifico invece dovrebbe essere $k ={1,2,...,52}$, se le carte fanno parte del classico mazzo da scala quaranta (13 carte per 4 semi).

"Giova411":In riferimento alla seconda disuguaglianza, il problema era:
Le carte di un mazzo vengono girate ad una ad una. Qual è la prob che il primo asso appaia alla k-esima carta? Qual è il valore di k più probabile?

Per quest'ultima domanda si arriva a vedere per quali valori di $k$, $p_k$ è massima. Quindi per ogni valore di $k$ bisogna avere: $p_k/(p_(k+1)) >= 1$

vari calcoli, ok chiari. Arriva a:
$(52-k)/(49-k)>=1$

Qui il libro dice che la prob è massima per $k=1$

A causa della mia scarsissima pratica con questioni di probabilità non mi è del tutto chiaro cosa chiede l'esercizio. Magari potrebbe essere utile se indicassi come hai calcolato il rapporto $p_k/(p_(k+1))$...

Comunque se $k$ indica la posizione della carta che viene girata, mi sembra strano che la probabilità massima si abbia per $k=1$, perché significherebbe che è massima la probabilità di girare l'asso come prima carta, giusto?

[Giova411]

"Cozza Taddeo":
In generale la tua affermazione non è corretta. Una variabile aleatoria discreta assume i propri valori da un insieme discreto il quale però può essere composto da una collezione di valori qualsiasi, purché non formino un continuo. Ad esempio si potrebbe avere una variabile aleatoria $x$ che assume i valori ${1/2, -sqrt3, pi}$ in modo equiprobabile: $x$ è una variabile aleatoria discreta ma il suo campo di variabilità non ha nessun elemento appartenente a $ZZ$.
In questo caso specifico invece dovrebbe essere $k ={1,2,...,52}$, se le carte fanno parte del classico mazzo da scala quaranta (13 carte per 4 semi).

Esatto scusate... Ho ancora le idee confuse.

Ok chiarito questo, i passaggi credo siano giusti:

$p_k = 4 * (48!)/(52!) * ((52-k)!)/ ((48-k+1)!)$
Da qui si semplifica perché divide:
$(p_k)/(p_(k+1))$ Lo pone $>= 1$ perché è una regola.
Ecco perché arriva a:

$(52-k)/(49-k)>=1$

Ma è il risultato ($k=1$) che non mi spiego....

[amel3]

Naaa dai al di là di tutto ci deve essere una questione di fondo che non va... mi sembra troppo assurdo... boh

[cozzataddeo]

"Giova411":Da qui si semplifica perché divide:
$(p_k)/(p_(k+1))$ Lo pone $>= 1$ perché è una regola.

Detta cosí sembra piú un dogma che una regola matematica...

"Giova411":Ma è il risultato ($k=1$) che non mi spiego....

Mi dispiace davvero, ma neanch'io ci ho capito granché...speriamo che qualcuno piú capace scenda dall'alto a darci qualche delucidazione...

[Giova411]

Intanto grazie ad entrambi per le risp velocissime!
Si, non si riesce a capire.
Per la regola "strana" non ho dubbi. L'aveva scritta Piera (nel suo primo intervento) QUI

Poi l'ho trovata pure sui libri.

Può essere che sbaglia a concludere con sto $k=1$... Forse dovrei postare l'intero problema in UNIVERSITA'

[ottusangolo]

Niente di strano
che p(k) sia maggiore di p(k+1),e comunque te ne puoi convincere facendo i calcoli, da cui la disuguaglianza data.
Questo implica subito,senza fare calcoli, che la probabilità maggiore è per k=1 (e risulta 1/13) mentre quella minore è ovviamente per k=52,53, 54 (essendo addirittura nulla)

[Giova411]

Non ci sono ancora, scusami.

Se pongo k=10 ad esempio ho un valore > rispetto a quello che ottengo per k=1.

[ottusangolo]

Se le cose stanno così, scusami te ! Non devo aver capito il testo o forse, data l'ora,sono fuori di testa
Volevo dire che la probabilità di avere il primo asso alla prima carta è 4/52 =1/13
Quella di avere il primo asso alla seconda carta è (48/52)*(4/51)
e così via.
Dovrebbe risultare P(1)>P(2)>p(3)>......P(52)=0
ove la prob. di pescare il primo asso alla 52-esima carta è ovviamente nulla essendo gli assi 4
Che P(k)>P(k+1) non dovrebbe quindi essere sorprendente e del resto lo si vede anche con questo semplice ragionamento:
Detta Q(k) la prob. di non avere assi nelle prime k carte dovrebbe essere
$ P(k)=Q(k-1)*(4/(52-k+1))$
e $ P(k+1)=Q(k-1)*(1-4/(52-k+1))*(4/(52-k)) $

da cui basta verificare che $1/n >(1-4/n)*(1/(n-1))$

[Giova411]

Scusami ma ho letto solo ora la risp.
GRAZIE! Ho capito!
Ho avuto difficoltà nel comprendere la seconda parte, ma ora ci sono.

MILLE Grazie!