Disuguaglianza trigonometrica

[Newton_1372]

Come si potrebbe dimostrare una cosa del genere?

$\sin x<=x<= tan x$ per $0
Senza far uso delle derivate...c'è una dimostrazione geometrica?

Intuitivamente si capisce che sin x < x perchè è indubbio che l'arco di cerchio (che raffigura l'angolo in radianti) è strettamente maggiore della proiezione del punto sull'asse Y. Ma la seconda parte della disuguaglianza come si dimostra?

[_prime_number]

Secondo me si dimostra graficamente nello stesso modo del seno, basta disegnare la tangente.

Paola

[Newton_1372]

E come faccio a disegnarla nel contesto del cerchio goniometrico? Ho visto in internet che è un segmento che congiunge tangenzialmente il punto P e l'asse delle ascisse. Ma come faccio a dimostrare che la lunghezza di quella linea è sin/cos?

[_prime_number]

Disegni la tangente alla circonferenza goniometrica nel punto (1,0).
Vedi http://it.wikipedia.org/wiki/Tangente_(trigonometria)

Paola

[Newton_1372]

Grazie...la dimostrazione è chiarissima...solo una domanda...mettiamo che il raggio della circonferenza non sia 1, ma genericamente r. Facendo i conti (usando il teorema della similitudine dei triangoli) ho trovato che la tangente non è esattamente uguale a quel segmento, ma al rapporto fra quel segmento e il raggio...come è possibile? Ripeto brevemente la dimostrazione

Circonferenza di centro O e raggio r. P è l'intersezione tra la circonferenza e il secondo lato dell'angolo. Inoltre T è l'intersezione tra la tangente alla circonferenza per il punto P. X e Y sono le proiezioni di P sull'asse x e y rispettivamente.
Dobbiamo dimostrare che la tangente è uguale al segmento PT.

DIMOSTRAZIONE. I triangoli POX e OPT sono simili, perchè hanno i tre angoli ordinatamente congruenti, come si dimostra facilmente. Quindi abbiamo $(PX)/(PT)=r/(OT) =(OX)/r$. In questo modo ho che la tangente $(PX)/(OX)=(PT)/(OP) $dipenderebbe quindi dal raggio di quel cerchio! Com'è possibile?

[_prime_number]

La tangente come funzione trigonometrica viene definita sulla circonferenza unitaria (così come seno e coseno). Che senso ha tirare in ballo la circonferenza di raggio r?

Paola

[Newton_1372]

Pura semplice pignoleria...infatti la tangente dovrebbe essere uguale a prescindere di R....

[Newton_1372]

Pura semplice pignoleria...infatti la tangente dovrebbe essere uguale a prescindere di R....

[_prime_number]

Sì ma la FUNZIONE TANGENTE e UNA tangente ad una circonferenza sono concetti diversi.

Paola

[Newton_1372]

quindi quella relazione vale SOLO per R=1?

[chiaraotta1]

Se fai riferimento per le lettere alla figura 350px-Sinxoverx.svg.png di wikipedia del link precedente, vedi che il triangolo OAD è contenuto nel settore OAD, che a sua volta è contenuto nel triangolo AOB.
Quindi l'area del triangolo OAD è minore o uguale a quella del settore OAD, che a sua volta è minore o uguale a quella del triangolo AOB. L'uguale si ha solo se x = 0.
Basta calcolare le tre aree e ordinarle.
L'area del triangolo OAD = (1/2) * OA * DC = (1/2) * r * r * sin(x) = (1/2) * r^2 *sin(x).
L'area del settore OAD sta all'area del cerchio di raggio r come x sta a 2 * pi. Quindi l'area del settore OAD = (1/2) * r^2 * x.
L'area del triangolo OAB = (1/2) * OA * AB = (1/2) * r * r * tan(x) = (1/2) * r^2 * tan(x).
Perciò
(1/2) * r^2 *sin(x) <= (1/2) * r^2 * x <= (1/2) * r^2 * tan(x)
e infine, semplificando (1/2) * r^2,
sin(x) <= x <= tan(x).

[Newton_1372]

sEMPLICEMENTE geniale...