Distanza tra due rette in E^3
Ciao, amici!
Sto cercando da ieri sera di trovare la distanza $d(\rho,\rho_1)$ in un riferimento cartesiano ortonormale tra la retta $\rho = {(x,y,z) : x+y+z=2, y-z=1}$ e la retta $\rho_1 = {(1-\lambda, 2+\lambda, 2\lambda) : \lambda in RR}$, ma la soluzione che, provando e riprovando, trovo non corrisponde a quella indicata nella soluzione dell'esercizio nel libro (che sarebbe $3/sqrt(11)$), nonostante una certa somiglianza formale...
L'equazione parametrica di $\rho = {(x,y,z) : x+y+z=2, y-z=1}$ mi sembra che dovrebbe essere $\rho = {(1-2\mu, 1+\mu, \mu) : \mu in RR}$.
La distanza tra le due rette, poste su piani diversi, direi che non è altro che la lunghezza del segmento più corto che unisce le due rette, che decido di chiamare $\bar{PQ}$ con $P in \rho$ e $Q in \rho_1$, che è quindi perpendicolare ad entrambe; appartenendo i due punti alle due rispettive rette mi sembra ovvio che $P = (1-2\mu, 1+\mu, \mu)$ e $Q = (1-\lambda, 2+\lambda, 2\lambda)$.
La direzione di PQ direi che sia $((1-2\mu-(1-\lambda)),(1+\mu-(2+\lambda)),(\mu-2\lambda))=((-2\mu+\lambda),(\mu-\lambda-1),(\mu-2\lambda))$
Ora, dato che il prodotto scalare di due vettori ortogonali, quindi perpendicolari nel nostro riferimento ortonormale, è uguale a 0, direi che, per determinare le coordinate cartesiane di P e Q, dovrei trovare le $\lambda$ e le $\mu$ che soddisfino le seguenti condizioni di perpendicolarità (il secondo vettore dei due prodotti scalari, indicati con · , è la direzione delle due rette, visibile dai coefficienti di $\lambda$ e $\mu$ nelle rispettive equazioni parametriche):
$((-2\mu+\lambda),(\mu-\lambda-1),(\mu-2\lambda)) · ((-2),(1),(1)) = 0$ e $((-2\mu+\lambda),(\mu-\lambda-1),(\mu-2\lambda)) · ((-1),(1),(2)) = 0$
Calcolando i due prodotti scalari direi che abbiamo:
$((-2\mu+\lambda),(\mu-\lambda-1),(\mu-2\lambda)) · ((-2),(1),(1)) = 0 = 4\mu-2\lambda+\mu-\lambda-1+\mu-2\lambda iff 6\mu-5\lambda=1$
$((-2\mu+\lambda),(\mu-\lambda-1),(\mu-2\lambda)) · ((-1),(1),(2)) = 0 = 2\mu-\lambda+\mu-\lambda-1+2\mu-4\lambda iff 5\mu-6\lambda=1$
Mi sembra quindi che le soluzioni di tale sistema siano $\lambda = -1/11$ e $\mu = 1/11$. Sostituendo queste soluzioni alle $\mu$ e $\lambda$ delle equazioni delle rette cui appartengono rispettivamente P e Q, direi che
$P = (9/11, 12/11, 1/11)$ e che $Q = (12/11, 21/11, -2/11)$
Applicando il teorema di Pitagora mi sembra che (utilizzo l'esponente frazionario perché non riesco a mettere tutto sotto la radice)
$\bar{PQ} = d(\rho,\rho_1) = (((9-12)^2+(12-21)^2+(1-(-2))^2)/11)^(1/2) = ((3^2+9^2+3^2)/11)^(1/2) = sqrt(99)/sqrt(11) = (3sqrt(11))/sqrt(11) = 3$ che è diverso dal $3/sqrt(11)$ del libro...
Che cosa ne pensate? Sbaglio nei calcoli? Il procedimento che ho usato è corretto? Ho persino pensato, con ogni probabilità sbagliandomi, che ci possa essere un errore di stampa nel libro (non sarebbe il primo), però considero metodologicamente sbagliato supporre un errore nel libro quando non tornano i conti...
Grazie di cuore a tutti!!!
P.S.: Applicando il teorema
- 2:-k < - 
secondo cui due teste funzionano meglio di una 
, l'ho fatto vedere da mia sorella, che viene dal liceo scientifico e studia biologia, ed è d'accordo con i miei risultati. Non è comunque da escludere che ci siamo sbagliati tutti e due...
Sto cercando da ieri sera di trovare la distanza $d(\rho,\rho_1)$ in un riferimento cartesiano ortonormale tra la retta $\rho = {(x,y,z) : x+y+z=2, y-z=1}$ e la retta $\rho_1 = {(1-\lambda, 2+\lambda, 2\lambda) : \lambda in RR}$, ma la soluzione che, provando e riprovando, trovo non corrisponde a quella indicata nella soluzione dell'esercizio nel libro (che sarebbe $3/sqrt(11)$), nonostante una certa somiglianza formale...
L'equazione parametrica di $\rho = {(x,y,z) : x+y+z=2, y-z=1}$ mi sembra che dovrebbe essere $\rho = {(1-2\mu, 1+\mu, \mu) : \mu in RR}$.
La distanza tra le due rette, poste su piani diversi, direi che non è altro che la lunghezza del segmento più corto che unisce le due rette, che decido di chiamare $\bar{PQ}$ con $P in \rho$ e $Q in \rho_1$, che è quindi perpendicolare ad entrambe; appartenendo i due punti alle due rispettive rette mi sembra ovvio che $P = (1-2\mu, 1+\mu, \mu)$ e $Q = (1-\lambda, 2+\lambda, 2\lambda)$.
La direzione di PQ direi che sia $((1-2\mu-(1-\lambda)),(1+\mu-(2+\lambda)),(\mu-2\lambda))=((-2\mu+\lambda),(\mu-\lambda-1),(\mu-2\lambda))$
Ora, dato che il prodotto scalare di due vettori ortogonali, quindi perpendicolari nel nostro riferimento ortonormale, è uguale a 0, direi che, per determinare le coordinate cartesiane di P e Q, dovrei trovare le $\lambda$ e le $\mu$ che soddisfino le seguenti condizioni di perpendicolarità (il secondo vettore dei due prodotti scalari, indicati con · , è la direzione delle due rette, visibile dai coefficienti di $\lambda$ e $\mu$ nelle rispettive equazioni parametriche):
$((-2\mu+\lambda),(\mu-\lambda-1),(\mu-2\lambda)) · ((-2),(1),(1)) = 0$ e $((-2\mu+\lambda),(\mu-\lambda-1),(\mu-2\lambda)) · ((-1),(1),(2)) = 0$
Calcolando i due prodotti scalari direi che abbiamo:
$((-2\mu+\lambda),(\mu-\lambda-1),(\mu-2\lambda)) · ((-2),(1),(1)) = 0 = 4\mu-2\lambda+\mu-\lambda-1+\mu-2\lambda iff 6\mu-5\lambda=1$
$((-2\mu+\lambda),(\mu-\lambda-1),(\mu-2\lambda)) · ((-1),(1),(2)) = 0 = 2\mu-\lambda+\mu-\lambda-1+2\mu-4\lambda iff 5\mu-6\lambda=1$
Mi sembra quindi che le soluzioni di tale sistema siano $\lambda = -1/11$ e $\mu = 1/11$. Sostituendo queste soluzioni alle $\mu$ e $\lambda$ delle equazioni delle rette cui appartengono rispettivamente P e Q, direi che
$P = (9/11, 12/11, 1/11)$ e che $Q = (12/11, 21/11, -2/11)$
Applicando il teorema di Pitagora mi sembra che (utilizzo l'esponente frazionario perché non riesco a mettere tutto sotto la radice)
$\bar{PQ} = d(\rho,\rho_1) = (((9-12)^2+(12-21)^2+(1-(-2))^2)/11)^(1/2) = ((3^2+9^2+3^2)/11)^(1/2) = sqrt(99)/sqrt(11) = (3sqrt(11))/sqrt(11) = 3$ che è diverso dal $3/sqrt(11)$ del libro...
Che cosa ne pensate? Sbaglio nei calcoli? Il procedimento che ho usato è corretto? Ho persino pensato, con ogni probabilità sbagliandomi, che ci possa essere un errore di stampa nel libro (non sarebbe il primo), però considero metodologicamente sbagliato supporre un errore nel libro quando non tornano i conti...
Grazie di cuore a tutti!!!
P.S.: Applicando il teorema
- 2:-k < - secondo cui due teste funzionano meglio di una , l'ho fatto vedere da mia sorella, che viene dal liceo scientifico e studia biologia, ed è d'accordo con i miei risultati. Non è comunque da escludere che ci siamo sbagliati tutti e due...
Risposte
$\bar{PQ}=d(ρ,ρ_1)=sqrt{((12-9)/11)^2+((12-21)/11)^2+((1+2)/11)^2}=sqrt{9/121+81/121+9/121}=sqrt{99/121}=sqrt{9/11}=3/sqrt{11}$
avevi dimenticato ad elevare al quadrato anche l'11 al denominatore
avevi dimenticato ad elevare al quadrato anche l'11 al denominatore
I codici per le lettere greche li trovate qui formule, così il testo è incomprensibile!
Grazie, doremifa, per la correzione!!! Accidenti che svista!
Grazie, j18eos, per la puntualizzazione! Non sapevo che ci fosse alcun problema di visualizzazione... Sarà perché sono abituato ad inserire le lettere greche dalla mappa dei caratteri, il che rende il testo a me, avendo i font relativi, perfettamente leggibile, ma incomprensibile ad altri lettori... Mi scuso con tutti, anche perché temo che lo stesso inconveniente si presente quasi in tutto ciò che ho finora postato!
Ciao a tutti e grazie di cuore!!!
Grazie, j18eos, per la puntualizzazione! Non sapevo che ci fosse alcun problema di visualizzazione... Sarà perché sono abituato ad inserire le lettere greche dalla mappa dei caratteri, il che rende il testo a me, avendo i font relativi, perfettamente leggibile, ma incomprensibile ad altri lettori... Mi scuso con tutti, anche perché temo che lo stesso inconveniente si presente quasi in tutto ciò che ho finora postato!
Ciao a tutti e grazie di cuore!!!
Davide, dipende da come i vari browser interpretano il MathML... io ad esempio vedo un tripudio di punti interrogativi racchiusi tra quadre con Chromium (sarebbe una versione sbrandizzata di Google Chrome) su Linux
Ho sostituito nel messaggio originale tutti i caratteri greci che avevo inserito dalla mia mappa caratteri con i codici ASCIIMathML, per esempio \lambda tra due segni di dollaro per la lettera greca lambda piuttosto della lettera stessa copiata e incollata dalla mappa caratteri. Spero di aver risolto il problema di visualizzazione per quante più persone, in modo che possano apprezzare il problema che ho postato e la correzione di doremifa...
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