Disequazioni lineari in sen e cos
$ sin x + cos x >= -1 $
ho provato a risolvera con le formule parametriche e non credo mi sia uscita
ma vorrei capire: POSSO RISOLVERLA con il sistema come fosse un'equazione? e come? perché non posso sostituire, ricavando dalla prima una variabile, in quanto la prima è una disequazione, non un'equazione
inoltre dovrei trovare il sup e dire se è il massimo
ma non è limitata superiormente essendo periodica, vero?
ho provato a risolvera con le formule parametriche e non credo mi sia uscita
ma vorrei capire: POSSO RISOLVERLA con il sistema come fosse un'equazione? e come? perché non posso sostituire, ricavando dalla prima una variabile, in quanto la prima è una disequazione, non un'equazione
inoltre dovrei trovare il sup e dire se è il massimo
ma non è limitata superiormente essendo periodica, vero?
Risposte
\(\sin x + \cos x = {\color{red} \sqrt{2}}\cos(x-\pi/4)\), da qui è banale.
Occhio, killing_buddha:
$sin x+ cos x=sqrt2(sqrt2/2 sinx+sqrt2/2cos x)=sqrt2 cos(x-pi/4)$
Tre risposte per Silvia panera:
1) Puoi senz'altro usare le parametriche e dare denominatore comune trascurando il denominatore (perché sicuramente positivo); arrivi così a $tan frac x 2>=-1$, con soluzione
$-pi/4+kpi<=x/2<=pi/2+kpi->-pi/2+2kpi<=x<=pi+2kpi$
2) Suppongo che parlando di sistema tu ti riferisca a
${(X=cosx),(Y=sinx),(Y+X<=-1):}$
Anche questo metodo va bene; l'unica differenza con le equazioni è che vuoi essere al di sotto della retta in questione.
3) Anche una funzione periodica può essere limitata superiormente e/o inferiormente (anzi, capita spesso); ad esempio, la $y=sinx$ è limitata da $y=-1$ e $y=1$.
$sin x+ cos x=sqrt2(sqrt2/2 sinx+sqrt2/2cos x)=sqrt2 cos(x-pi/4)$
Tre risposte per Silvia panera:
1) Puoi senz'altro usare le parametriche e dare denominatore comune trascurando il denominatore (perché sicuramente positivo); arrivi così a $tan frac x 2>=-1$, con soluzione
$-pi/4+kpi<=x/2<=pi/2+kpi->-pi/2+2kpi<=x<=pi+2kpi$
2) Suppongo che parlando di sistema tu ti riferisca a
${(X=cosx),(Y=sinx),(Y+X<=-1):}$
Anche questo metodo va bene; l'unica differenza con le equazioni è che vuoi essere al di sotto della retta in questione.
3) Anche una funzione periodica può essere limitata superiormente e/o inferiormente (anzi, capita spesso); ad esempio, la $y=sinx$ è limitata da $y=-1$ e $y=1$.
Vabbè, le costanti non servono a niente
In questo caso la costante serve per indicare la bella diversità fra
$cos(x-pi/4)>=-1" "$ e $" "sqrt2 cos(x-pi/4)>=-1$
$cos(x-pi/4)>=-1" "$ e $" "sqrt2 cos(x-pi/4)>=-1$
per sistema intendo q7uello con la relazione fondamentale.inoltre non so applicare il metodo grafico .
inoltre mi correggo la traccia chiede se l insieme delle x tali che f(x)>=0 sia limitato superiormente , cosa che per una funzione periodica non può mai essere, vero?
inoltre mi correggo la traccia chiede se l insieme delle x tali che f(x)>=0 sia limitato superiormente , cosa che per una funzione periodica non può mai essere, vero?
non capisco quello che ha fatto Killing Budda né la correzione
$ (2t)/(1+t^2) + (1-t^2)/(1+t^2)+ 1>=0 $
$ 2t +2 >=0 $
$ t +1 >=0 $
$ tg(x/2)+1>=0 $
$ tg(x/2)>=-1 $ $ 0+kpi<= x/2 <= 3/4pi+kpi U 7/4pi+kpi <=x<=2pi+kpi $
poi dovrei moltiplicare per due
$ 2t +2 >=0 $
$ t +1 >=0 $
$ tg(x/2)+1>=0 $
$ tg(x/2)>=-1 $ $ 0+kpi<= x/2 <= 3/4pi+kpi U 7/4pi+kpi <=x<=2pi+kpi $
poi dovrei moltiplicare per due
Rispondo alle tue domande nell'ordine in cui le hai fatte.
Il metodo grafico consiste nel notare che
$sin^2x +cos^2x=1$ è lo stesso che dire che siamo sul cerchio goniometrico, con equazioni parametriche ${(X=cosx),(Y=sinx):}$
Se però non l'hai fatto, lasciamo perdere; senza metodo grafico il sistema diventa scomodissimo.
Chiariamo bene: in una funzione periodica l'insieme delle x non è limitato. Però quando si parla di limitazione inferiore o superiore di solito ci si riferisce all'insieme delle y, che spesso è limitato.
Ha applicato il metodo dell'angolo aggiunto, che è comodo quando il rapporto fra i coefficienti del seno e del coseno è la tangente di un'angolo speciale (non importa né l'ordine né il segno). Se proprio non lo conosci, lasci perdere; nel caso che tu lo conosca con un altro nome, aggiungo che consiste nel moltiplicare o dividere (o mettere in evidenza, come nel nostro caso) per uno stesso numero, in modo da ottenere seno e coseno di quell'angolo. Nel nostro caso quel rapporto è 1, che è la tangente di $pi/4$; devo perciò ottenerne seno e coseno, che valgono entrambi $sqrt2/2$. I calcoli, per esteso, sono quindi
$sinx+cosx=sqrt2(sqrt2/2sinx+sqrt2/2cosx)=sqrt2(sin frac pi 4sinx+cos frac pi 4 cosx)=sqrt2 cos(x-pi/4)$
Sono giusti e differiscono dai miei solo per un particolare (per comodità di scrittura e lettura trascuro ovunque il $+kpi$). Tu scrivi che c'è anche l'intervallo $7/4pi<=x<=2pi$; io l'ho chiamato $-pi/4<=x<=0$ e l'ho unificato all'altro intervallo.
per sistema intendo quello con la relazione fondamentale.inoltre non so applicare il metodo grafico .
Il metodo grafico consiste nel notare che
$sin^2x +cos^2x=1$ è lo stesso che dire che siamo sul cerchio goniometrico, con equazioni parametriche ${(X=cosx),(Y=sinx):}$
Se però non l'hai fatto, lasciamo perdere; senza metodo grafico il sistema diventa scomodissimo.
inoltre mi correggo la traccia chiede se l insieme delle x tali che f(x)>=0 sia limitato superiormente , cosa che per una funzione periodica non può mai essere, vero?
Chiariamo bene: in una funzione periodica l'insieme delle x non è limitato. Però quando si parla di limitazione inferiore o superiore di solito ci si riferisce all'insieme delle y, che spesso è limitato.
non capisco quello che ha fatto Killing Budda né la correzione
Ha applicato il metodo dell'angolo aggiunto, che è comodo quando il rapporto fra i coefficienti del seno e del coseno è la tangente di un'angolo speciale (non importa né l'ordine né il segno). Se proprio non lo conosci, lasci perdere; nel caso che tu lo conosca con un altro nome, aggiungo che consiste nel moltiplicare o dividere (o mettere in evidenza, come nel nostro caso) per uno stesso numero, in modo da ottenere seno e coseno di quell'angolo. Nel nostro caso quel rapporto è 1, che è la tangente di $pi/4$; devo perciò ottenerne seno e coseno, che valgono entrambi $sqrt2/2$. I calcoli, per esteso, sono quindi
$sinx+cosx=sqrt2(sqrt2/2sinx+sqrt2/2cosx)=sqrt2(sin frac pi 4sinx+cos frac pi 4 cosx)=sqrt2 cos(x-pi/4)$
Calcoli con le parametriche
Sono giusti e differiscono dai miei solo per un particolare (per comodità di scrittura e lettura trascuro ovunque il $+kpi$). Tu scrivi che c'è anche l'intervallo $7/4pi<=x<=2pi$; io l'ho chiamato $-pi/4<=x<=0$ e l'ho unificato all'altro intervallo.
perfetto, grazie
posso anche dividere e moltiplicare per cos x studiando a parte il caso cos x=0 o c'è il rischio che cos x <0?
C'è il rischio che il coseno sia negativo. E poi che cosa te ne faresti di $ tan x + 1 >= -1/cos x $ ?
ho sbagliato, volevo dire mettere in evidenza
ottengo il prodotto
$ cos x (tg x +1) $
ottengo il prodotto
$ cos x (tg x +1) $
lo stesso. A secondo membro compare un coseno a denominatore. Che te ne fai?
studio il segno di cos x>0 e studio tg x >-1
poi prendo le zone dove c'è il -
poi prendo le zone dove c'è il -
Cioè per studiare il segno di $x^2+3> 4x$ tu studieresti quando $x^2+3>0$ e poi $4x>0$? Mi sa che devi chiarirti le idee sul concetto di disequazione.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo