Disequazioni irrazionale
Potreste farmi vedere come risolvereste questa disequazione?
$\frac{\sqrt{x- \sqrt{1-x}}}{1-\sqrt{x}}\leq 1$
Perché io mi sono fermato solamente alle condizioni di esistenza: $ x \in (\frac{\sqrt{5} -1}{2} , 1)$
$\frac{\sqrt{x- \sqrt{1-x}}}{1-\sqrt{x}}\leq 1$
Perché io mi sono fermato solamente alle condizioni di esistenza: $ x \in (\frac{\sqrt{5} -1}{2} , 1)$
Risposte
Direi che le condizioni di esistenza siano $x \in [\frac{\sqrt{5} -1}{2} , 1)$, non capisco perché escludi $frac{\sqrt{5} -1}{2} $.
Poiché $x<1$ il denominatore è sempre positivo, quindi moltiplicherei per il denominatore
$sqrt{x- \sqrt{1-x}}leq 1-\sqrt{x}$ a questo punto eleverei tutto al quadrato
$x- \sqrt{1-x}<=1+x-2sqrtx$ isolo la prima radice
$sqrt{1-x}>=+2sqrtx-1$ il secondo membro, per le condizioni di esistenza, è sempre positivo, perciò posso elevare al quadrato senza ulteriori condizioni
$1-x>=4x-4sqrtx+1$ isolo a primo membro l'ultima radice rimasta
$4sqrtx>=5x$ di nuovo tutto al quadrato
$16x>=25x^2$ da cui $0<=x<=16/25$ da mettere a sistema con le condizioni di esistenza, la soluzione finale, a meno di errori di calcolo sarà
$(sqrt5-1)/2<=x<=16/25$
Poiché $x<1$ il denominatore è sempre positivo, quindi moltiplicherei per il denominatore
$sqrt{x- \sqrt{1-x}}leq 1-\sqrt{x}$ a questo punto eleverei tutto al quadrato
$x- \sqrt{1-x}<=1+x-2sqrtx$ isolo la prima radice
$sqrt{1-x}>=+2sqrtx-1$ il secondo membro, per le condizioni di esistenza, è sempre positivo, perciò posso elevare al quadrato senza ulteriori condizioni
$1-x>=4x-4sqrtx+1$ isolo a primo membro l'ultima radice rimasta
$4sqrtx>=5x$ di nuovo tutto al quadrato
$16x>=25x^2$ da cui $0<=x<=16/25$ da mettere a sistema con le condizioni di esistenza, la soluzione finale, a meno di errori di calcolo sarà
$(sqrt5-1)/2<=x<=16/25$
Grazie mille!