Disequazioni esponenziali e logaritmiche

[torroncello.ballow]

Ciao a tutti, ho appena iniziato a fare esercizi di questo tipo ma non riesco a risolvere esercizi del tipo:

1) $ (1/2)^ (x+3) > 5 $ ( 1/2 elevato alla x+3, non so come si srive sul pc)

2) $ (2)^2x+1 < 8 $

3) $ (e)^3x+14 < 11 $

Ho visto su alcune dispense di questo forum che si pone l'esponente uguale a t, cioè:

es1: $ t= x+3 => (1/2)t > 5 $
$ t= log in base 1/2 di 5 $
$ x < log in base 1/2 di (5) - 3 $

c'è un modo per scrivere il termine a destra con la base del numero a sx usando i logaritmi? come faccio a scrivere 5?

[Seneca1]

$log_(1/2) ( x ) = 3$

E risolvi...

$x = (1/2)^3$

Quindi hai che $log_(1/2) ( 1/8 ) = 3$

[torroncello.ballow]

"Seneca":$log_(1/2) ( x ) = 3$

E risolvi...

$x = (1/2)^3$

Quindi hai che $log_(1/2) ( 1/8 ) = 3$

ah ok, grazie.

ma come fare per avere a destra e sinistra base 1/2? così da poter passare agli esponenti?

[Seneca1]

$ (1/2)^ (x+3) > 5 $

Tu stai chiedendo come scrivere $5$ in termini di $1/2$ elevato alla "qualcosa"... ?

[torroncello.ballow]

"Seneca":$ (1/2)^ (x+3) > 5 $

Tu stai chiedendo come scrivere $5$ in termini di $1/2$ elevato alla "qualcosa"... ?

si, non riuscivo a spiegarmi!

[Seneca1]

Il numero elevato alla $1/2$ che da $5$ è: $log_(1/2) (1/(2^5))$

Quindi usi i logaritmi.

[torroncello.ballow]

"Seneca":Il numero elevato alla $1/2$ che da $5$ è: $log_(1/2) (1/(2^5))$

Quindi usi i logaritmi.

In definitiva dovrei avere:

$(1/2)^(x+3) > (1/2)^(log_(1/2) (1/(2^5)))$

passo agli esponenti: $x+3>5 => x> 2$

O sbaglio?

Il secondo esercizio invece:

$2^(2x+1) > 8$

$2^(2x+1) < 2^log_(2) (2)^8$

$2x+1 < log_(2) (2)^8$

$2x < 7$

$x< 7/2$

???

[Seneca1]

"torroncello.ballow":$(1/2)^(x+3) > (1/2)^(log_(1/2) (1/(2^5)))$

passo agli esponenti: $x+3>5 => x> 2$

O sbaglio?

Passando agli esponenti avresti:

$x+3 x < log_(1/2) (1/(2^5)) - 3$

Ricordati che questo "passare agli esponenti" non è altro che applicare il logaritmo ad ambo i membri, qualora le basi fossero le stesse. E ti ricordo che il $log$ in base $1/2$ è una funzione decrescente; ciò implica che il verso della disequazione cambia.

[torroncello.ballow]

"Seneca":[quote="torroncello.ballow"]$(1/2)^(x+3) > (1/2)^(log_(1/2) (1/(2^5)))$

passo agli esponenti: $x+3>5 => x> 2$

O sbaglio?

Passando agli esponenti avresti:

$x+3 x < log_(1/2) (1/(2^5)) - 3$

Ricordati che questo "passare agli esponenti" non è altro che applicare il logaritmo ad ambo i membri, qualora le basi fossero le stesse. E ti ricordo che il $log$ in base $1/2$ è una funzione decrescente; ciò implica che il verso della disequazione cambia.[/quote]


ma $log_(1/2) (1/(2^5))$ non è uguale a 5? o devo lasciarlo così??

[Seneca1]

"torroncello.ballow":
es1: $ t= x+3 => (1/2)t > 5 $
$ t= log in base 1/2 di 5 $
$ x < log in base 1/2 di (5) - 3 $

c'è un modo per scrivere il termine a destra con la base del numero a sx usando i logaritmi? come faccio a scrivere 5?

Evidentemente stiamo facendo entrambi una gran confusione. Colpa mia (devo aver sbagliato qualcosa). Riscrivo il procedimento corretto:

$(1/2)^(x + 3) > 5$

Applicando il logaritmo in base $1/2$:

$log_(1/2) [ (1/2)^(x + 3) ] < log_(1/2) ( 5 )$

Per la proprietà degli esponenti e ricordando che $log_a ( a ) = 1$:

$x + 3 < log_(1/2) ( 5 ) => x < log_(1/2) ( 5 ) - 3$

E questo è il risultato. Sei d'accordo?

Puoi anche (un po' inutilmente) pensarla come segue:

$5 = (1/2)^(log_(1/2) (5))$

E allora risolvi la seguente, "passando agli esponenti":

$(1/2)^(x + 3) > (1/2)^(log_(1/2) (5))$

ed ottenendo il medesimo risultato.

PS:

E' vero che $5 = 5 * log_(1/2) ( 1/2 ) = log_(1/2) ( 1/2^5 )$, ma non serviva ai nostri scopi. La stanchezza.

[torroncello.ballow]

Quindi se ho capito applico sempre il log ad ambo i membri con la base che ho a sinistra...o sbaglio?

altri esempi?

[Seneca1]

"torroncello.ballow":Quindi se ho capito applico sempre il log ad ambo i membri con la base che ho a sinistra...o sbaglio?

altri esempi?

Con la base che vuoi!

$(1/2)^(x + 3) > 5$

$ln(1/2) * (x + 3) > ln(5)$

$x ln(1/2) + 3 ln(1/2) > ln(5)$

$x < (- 3 ln(1/2) + ln(5) )/(ln(1/2))$ (cambia verso perché $ln(1/2) < 0$ )

Ed è lo stesso risultato.