Disequazioni esponenziali con logaritmi..

[Ansiaaaaa]

Ragazzi potreste aiutarmi a risolvere queste disequazioni utilizzando le proprietà dei logaritmi??

[math]13[/math]

[math]10^{2x-3}[/math]

-

[math]4[/math]

[math]7^{2x+1}[/math]

<

[math]100^{x}[/math]

/1000 +

[math]35[/math]

[math]7^{2x}[/math]

[math]0,1^{x}[/math]

-

[math]3[/math]

[math]6^{x}[/math]

>

[math]6^{x}[/math]

-

[math]8[/math]

[math]0,1^{x}[/math]

[math]4[/math]

[math]0,3^{2x-1}[/math]

-

[math]0,1^{-x}[/math]

8 x 0,1allax
Nella terza 4 x 0,3 alla(2x-1) -0,1alla-x

[BIT5]

[math] 13 \cdot 10^{(2x-2)} -4 \cdot 7^{(2x+1)} < \frac{10^{x}}{1000} + 35 \cdot 7^{2x} [/math]

la prima e' cosi'?? (utilizza * per la moltiplicazione altrimenti non si capisce nulla!)

Aggiunto 1 ore 4 minuti più tardi:

[math] 13 \cdot 10^{(2x-3)} -4 \cdot 7^{(2x+1)} < \frac{100^{x}}{1000} + 35 \cdot 7^{2x} [/math]

applichiamo le proprieta'..

[math] \frac{100^x}{1000} = \frac{\(10^{2}\)^x}{10^3} = \frac{10^{2x}}{10^3} = 10^{(2x-3)} [/math]

poi

[math] 35 \cdot 7^{2x} = 5 \cdot 7 \cdot 7^{2x} = 5 \cdot 7^{(2x+1)} [/math]

porti tutti i 10 a sinistra e i 7 a destra (o viceversa come preferisci)

[math] 13 \cdot 10^{(2x-3)} - 10^{(2x-3)} < 4 \cdot 7^{(2x+1)} + 5 \cdot 7^{(2x+1)} [/math]

da cui (come vedi hai monomi simili (10^(2x-3) e 7^(2x+1) )

quindi sommi 13-1=12 e 4+5=9

[math] 12 \cdot 10^{(2x-3)} < 9 \cdot 7^{(2x+1)} [/math]

dividi tutto per 3

[math] 4 \cdot 10^{(2x-3)} < 3 \cdot 7^{(2x+1)} [/math]

usiamo ora i logaritmi, se la prima quantita' e' minore della seconda, allora il logaritmo (di base maggiore di 1) della prima quantita' sara' > del logaritmo della seconda

[math]\log \( 4 \cdot 10^{(2x-3)} \) < \log \( 3 \cdot 7^{ (2x+1)} \) [/math]

logaritmo del prodotto = somma dei logaritmi

[math] \log 4 + \log 10^{(2x-3)} < \log 3 + \log 7^{(2x+1)} [/math]

ricordando che

[math] \loga^b = b \log a [/math]

avrai

[math] \log 4 + (2x-3) \log 10 < \log 3 + (2x+1) \log 7 [/math]

portiamo tutte le x a sinistra, i numeri a destra (log4 e' un numero)

[math] (2x-3) \log 10 - (2x+1) \log 7 < \log 3 - \log 4 [/math]

moltiplichiamo

[math] 2x \log 10 -3 \log 10 - 2x \log 7 - \log 7 < \log 3 - \log 4 [/math]

portiamo i numeri a destra

[math] 2x \log 10 - 2x \log 7 < \log 3 - \log 4 + 3 \log 10 + \log 7 [/math]

raccogliamo x

[math] x \(2 \log 10 - 2 \log 7 \) < \log 3 - \log 4 + 3 \log 10 + \log 7 [/math]

e dividiamo per il coefficiente (avendo cura di verificare che il coefficiente sia positivo, e lo e'... riportiamo i coefficienti del logaritmo come esponenti

[math] x< \frac{\log 3 - \log 4 + \log 10^3 + \log 7}{\log 10^2 - \log 7^2} [/math]

ora applichiamo le proprieta' dei logaritmi (somma di logaritmi = logaritmo del prodotto)

[math] x< \frac{ \log \( \frac{ 3 \cdot 10^3 \cdot 7}{4}\)}{\log \(\frac{10^2}{7^2}\)} [/math]

quindi

[math] x< \frac{\log(5250)}{\log \(\frac{100}{49}\)} [/math]

ho scelto logaritmo naturale, ma potevo scegliere logaritmo in base 10 (che forse era pure meglio ;) )

Aggiunto 1 ore 24 minuti più tardi:

[math] 0,1= \frac{1}{10} = 10^{-1} [/math]

pertanto l'espressione diverra'

[math] 10^{-x} - 3 \cdot 6^{x} > 6^{x} - 8 \cdot 10^{-x} [/math]

come prima

[math] 10^{-x} + 8 \cdot 10^{-x} > 3 \cdot 6^{x} + 6^{x} [/math]

quindi

[math] 9 \cdot 10^{-x} > 4 \cdot 6^{x} [/math]

usando questa volta LOG in base 10

[math] Log \(9 \cdot 10^{-x} \) > Log \(4 \cdot 6^{x} \) [/math]

proprieta' (logaritmo del prodotto = somma dei logaritmi)

[math] Log 9 + Log 10^-x > Log 4 + Log 6^{x} [/math]

e dal momento che

[math] \log_a a^b = b [/math]

avremo

[math] Log 9 + (-x) > Log 4 + x Log 6 [/math]

porto a sinistra le x

[math] -x + x Log 6 > Log 4 - Log 9 [/math]

quindi

[math] x(Log 6-1)> Log \frac{4}{9} [/math]

pertanto (siccome Log6-1>0)

[math] x> \frac{Log \frac49 }{Log 6 - 1 } [/math]

ecco a te :)