Disequazioni esponenziali (253919)

[gigiobagigio200]

qualche buon anima mi svolgerebbe con passaggi gli esercizi contrassegnati con il pallino verde? mi trovo in seria difficoltà

[Gabry Barbe]

392)

[math]\frac{2^{x^2}\cdot \sqrt[3]{2^x}}{\sqrt{2}} \ge \frac{1}{8}[/math]

.
Usando

[math]\sqrt[n]{a^m}=a^\frac{m}{n}[/math]

, trasforma l'espressione. Inoltre rendi 1/8 in forma esponenziale.

[math]\frac{2^{x^2}\cdot 2^\frac{x}{3}}{\sqrt{2}} \ge 2^{-x}[/math]

.
Calcola il prodotto del numeratore:

[math]\frac{2^{x^2+\frac{x}{3}}}{\sqrt{2}} \ge 2^{-3}[/math]

.
Usando la formula scritta qui sopra semplifica anche il denominatore. In seguito dividi numeratore e denominatore per 2^1/2:

[math]2^{x^2+\frac{x}{3}-\frac{1}{2}}\ge 2^{-3}[/math]

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Poichè le basi sono uguali, anche gli esponenti sono uguali. Dunque:

[math]x^2+\frac{x}{3}-\frac{1}{2}\ge -3[/math]

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Risolvi come una normale equazione.

394)

[math]2^{-3x}+2^{-3x+2}+2^{-3x+1}\ge 28[/math]

.
Raccogli il moltiplicatore comune:

[math](1+2^2+2)\cdot 2^{-3x}\ge 28[/math]

.
Risolvi la parentesi:

[math]7\cdot 2^{-3x}\ge 28[/math]

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Dividi entrambi i membri per 7:

[math]2^{-3x}\ge 4[/math]

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Scrivi il 4 in forma esponenziale:

[math]2^{-3x}\ge 2^2[/math]

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Poichè le basi sono uguali anche gli esponenti lo sono. Dunque:

[math]-3x\ge 2[/math]

.
Dividi entrambi i membri per -3 e inverti il segno della disuguaglianza.

[math]x\le -\frac{2}{3}[/math]

.

396)

[math]3^{3x}-3^{x+1}-3^{2x+1}+0\ge 0[/math]

.
Usando a^mn=(a^n)^m semplifica il primo. Usando a^m+n=a^m*a^n semplifica il secondo e il terzo.

[math](3^x)^3-3^x\cdot 3-3^{2x}\cdot 3+9\ge 0[/math]

.
Usando a^mn=(a^n)^m semplifica l'espressione:

[math](3^x)^3-3^x\cdot 3-(3^x)^2\cdot 3+9\ge 0[/math]

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Risolvi la disequazione usando la sostituzione t=3^x:

[math]t^3-t\cdot 3-t^2\cdot 3+9\ge 0[/math]

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Risolvi la disuguaglianza in t.

[math]t\ge 3 \lor -\sqrt{3}\le t \le \sqrt{3}[/math]

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Ritorna al valore sostituito:

[math]3^x\ge 3 \lor -\sqrt{3}\le 3^x \le \sqrt{3}[/math]

.
Scrivi l'intervallo:

[math]\begin{cases}3^x\ge-\sqrt{3} \\ 3^x\ge \sqrt{3} \end{cases} \\ 3^x\ge 3[/math]

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Risolvi le disuguaglianze in x:

[math]\begin{cases}x \in \mathbb{R} \\ x\le \frac{1}{2} \end{cases} \\ x\ge 1[/math]

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Trova l'intersezione:

[math]x\in (-\infty, \frac{1}{2}] \\ x\ge 1[/math]

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Trova l'interezione:

[math]x\in (-\infty, \frac{1}{2}]\cup [1, +\infty)[/math]

.
Soluzione:

[math]x\le\frac{1}{2}\lor x\ge 1[/math]

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398 )

[math](4^x-2)^3\ge 0[/math]

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Il solo caso in cui una base con esponente dispari è >=0 è quando la base è >=0. Quindi:

[math]4^x-2\ge 0[/math]

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Porta il termine noto a destra e scrivi tutto in forma esponenziale:

[math]2^{2x}\ge 2^1[/math]

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Poichè le basi sono uguali anche gli esponenti lo sono. Dunque:

[math]2x\ge 1[/math]

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Dividi entrambi i membri per 2 senza cambiare il segno.

[math]x\ge \frac{1}{2}[/math]

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Spero di averti aiutato. Se hai ancora difficoltà scrivilo qui sotto. Saluti, Gabriele.