Disequazioni equivalenti

[giannirecanati]

L'esercizio chiede di dimostrare che:
$\frac{N(x)}{D(x)}>0$ e $N(x)\cdot D(x)>0$ hanno lo stesso insieme di soluzioni.
La mia dimostrazione è questa:
1) Poniamo $N(x)>0$, esso sarà positivo per entrambe le disequazioni quindi $D(x)>0$, ma se $D(x)$ è positivo lo è anche il suo reciproco, quindi analizzando il prodotto tutte le soluzione valide per $D(x)>0$, sono valide per il suo reciproco, allora l'insieme dei valori che verificano la prima disequazione verificherà la seconda, dunque la tesi è vera.
2) Poniamo $N(x)<0$, esso è negativo per entrambe le disequazioni allora necessariamente $D(x)<0$, ma se esso è negativo lo è anche il suo reciproco, il ragionamento è analogo a quello precedente, anche qui la tesi è verificata.

Potreste indicarmi gli errori, oppure va bene?

[@melia]

Sarei stata più sintetica:
Un rapporto $(N(x))/(D(x)) >0$ e un prodotto $N(x)*D(x) >0$ sono entrambi positivi quando i due fattori sono concordi e diversi da 0, per la regola del prodotto dei numeri relativi.
Il tuo procedimento è corretto.

[Bruce..]

Anche io sono d'accordo con melia.
Si tratta della regola dei segni, che vale sia nella divisione quanto nel prodotto.
Poi se vuoi stupire il prof, impara la dimostrazione della regola dei segni XD a me non l'hanno spiegato e solo ora mi è venuto in mente un tale interrogativo!