Disequazioni con modulo

[weblan]

Prendiamo in considerazione la seguente disequazione $\abs{f(x)}\leq \abs{g(x)}$. Al di là del fatto di studiare i segni di $f(x)$ e $g(x)$ e "spezzarla" in tante disequazioni in vari sottoinsiemi di $\mathbb{R}$, possiamo ragionare anche in questo modo:

$g(x)\leq -\abs{f(x)}\vee g(x)\geq \abs{f(x)}$, in modo equivalente


$-g(x)\geq \abs{f(x)}\vee g(x)\geq \abs{f(x)}$

La prima di sinistra in alto diventa: $g(x)\leq f(x) \leq-g(x)$

La seconda di destra in alto diventa: $-g(x)\leq f(x) \leqg(x)$

In conclusione per risolvere la disequazione $\abs{f(x)}\leq \abs{g(x)}$ è sufficiente unire le soluzioni dei seguenti die sistemi: \begin{cases}
f(x)\geq g(x)\\
f(x)\leq -g(x)

\end{cases}

$vee$

\begin{cases}
f(x)\geq -g(x)\\
f(x)\leq g(x)

\end{cases}


Ovvio che si può anche risolvere la disequazione $[f(x)]^2\leq[g(x)]^2$ e forse questo dipende da come sono fatte $f(x)$ e $g(x)$.


Mi faceva piacere sapere se condividete il metodo che ho messo in evidenza in alto dell'unione dei due sistemi. Diciamo che si può anche dividere per $\abs{g(x)}$ conservare i valori che sono soluzioni e determinare l'unione di due sistemi fratti.

[Noodles1]

"weblan":
... se condividete ...

Condivido:

$|f(x)| leq |g(x)| rarr$

$rarr \{(f(x) gt= g(x)),(f(x) lt= -g(x)):} vv \{(f(x) gt= -g(x)),(f(x) lt= g(x)):}$