Disequazioni col doppio modulo

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31 dic 2010, 19:53

In linea di massima risolverle è molto semplice (studiare il segno dei due moduli e quello della disequazione nei tre o più casi etc.), ma una disequazione con modulo in questa forma:

$sqrt(|x - 1|) + |x| < 4 $

come si può risolvere? perché col procedimento "comune" (elevo al quadrato i due membri con l'unione dei due sistemi e ho una disequazione di 2° grado con due moduli, quindi provo a risolverla col metodo usuale) ottengo risultati apparentemente implausibili? come si potrebbe procedere per una risoluzione grafica?

grazie in anticipo per eventuali chiarimenti

Risposte

Giant_Rick

31 dic 2010, 22:28

Traccia la curva $y=sqrt(|x-1|)$ e $y=4-|x|$.. tieni come soluzione quello che sta sotto alla retta.

vakoom

1 gen 2011, 00:58

La curva $y = sqrt(|x -1|)$ corrisponde a $y = sqrt( x - 1)$ (in teoria no, perché dovrebbe comprendere anche il simmetrico)? e $y = 4 - |x|$ come può essere rappresentata? Parto da $ y = |x| $, rifletto sull'asse delle x e traslo di 4 a sinistra? O in alto? Come capisco quando è il caso di traslare sulle ascisse (f(x+c), mi sembra) o sulle ordinate (f(x)+c)? Ma soprattutto, come calcolo il punto/i punti dell'intersezione?

@melia

1 gen 2011, 09:05

Senza porsi tanti problemi:
$y = sqrt(|x -1|)= \{(sqrt( x - 1)\ \se\ \x>=1),(sqrt(1-x)\ \se\ \x<1):}$
$y = 4 - |x|=\{(4-x\ \se\ \x>=0),(x-4\ \se\ \x<0):}$

giammaria2

1 gen 2011, 11:04

Concordo con @melia e suggerisco di considerare fin dall'inizio tre intervalli: prima di 0, fra 0 e 1, dopo 1. Quindi
${(x<0),(sqrt(1-x)<4+x):}vvv{(0<=x<1),(sqrt(1-x)<4-x):}vvv{(x>=1) ,(sqrt(x-1)<4-x):}$

Per ognuno dei precedenti sistemi la condizione di esistenza è inutile perché già inclusa nella prima limitazione, quindi, per esempio, il primo sistema si risolve con

${(x<0),(4+x>0),(1-x<(4+x)^2):}$

@melia

1 gen 2011, 11:23

Avevo risposto pensando alla soluzione grafica, chiaramente per la soluzione algebrica il tuo modo è più completo.

vakoom

1 gen 2011, 11:55

Ringrazio entrambi, spero di tappare questi miei buchi. Ero già arrivato alla risoluzione di giammaria, ma mi sembrava troppo astrusa e quindi l'avevo abbandonata da subito