Disequazioni algebriche equivalenti (?) e soluzioni diverse
Salve a tutti!
1) \(\displaystyle \cos x (3\tan^2 x - 1)(\cos^2 x + \cos x) \geq 0 \)
2) \(\displaystyle \cos^2 x (3\tan^2 x - 1)(\cos x + 1) \geq 0 \)
Le due disequazioni sono equivalenti, giusto? La seconda è uguale alla prima, dove ho raccolto il termine \(\displaystyle \cos x \) dall'ultimo fattore che si è andato a moltiplicare con il primo.
Eppure, in tal caso, le due disequazioni hanno intervalli di soluzioni differenti.
La 1), studiando il segno di ogni fattore così come è ed intersecando poi i risultati, ha come soluzioni \(\displaystyle (\frac{\pi}{6} + k\pi \leq x \leq \frac{5}{6}\pi + k\pi \wedge x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi) \vee x=\pi + 2k\pi \) con \(\displaystyle k\in \mathbb{Z} \), mentre la seconda, studiando nuovamente il segno di ogni fattore e poi intersecando, ha come soluzioni \(\displaystyle \frac{\pi}{6} + k\pi \leq x \leq \frac{5}{6}\pi + k\pi \wedge x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi \), ossia manca il \(\displaystyle \pi +2k\pi\).
Come è possibile, se le due disequazioni rappresentano, in realtà, la stessa?
1) \(\displaystyle \cos x (3\tan^2 x - 1)(\cos^2 x + \cos x) \geq 0 \)
2) \(\displaystyle \cos^2 x (3\tan^2 x - 1)(\cos x + 1) \geq 0 \)
Le due disequazioni sono equivalenti, giusto? La seconda è uguale alla prima, dove ho raccolto il termine \(\displaystyle \cos x \) dall'ultimo fattore che si è andato a moltiplicare con il primo.
Eppure, in tal caso, le due disequazioni hanno intervalli di soluzioni differenti.
La 1), studiando il segno di ogni fattore così come è ed intersecando poi i risultati, ha come soluzioni \(\displaystyle (\frac{\pi}{6} + k\pi \leq x \leq \frac{5}{6}\pi + k\pi \wedge x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi) \vee x=\pi + 2k\pi \) con \(\displaystyle k\in \mathbb{Z} \), mentre la seconda, studiando nuovamente il segno di ogni fattore e poi intersecando, ha come soluzioni \(\displaystyle \frac{\pi}{6} + k\pi \leq x \leq \frac{5}{6}\pi + k\pi \wedge x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi \), ossia manca il \(\displaystyle \pi +2k\pi\).
Come è possibile, se le due disequazioni rappresentano, in realtà, la stessa?
Risposte
Nella seconda quella soluzione mancante dovrebbe uscirti dallo studio di $cosx +1$ (che infatti si annulla per quei valori).
Non è che quando hai studiato il segno hai analizzato solo quando i fattori erano positivi e non anche quando erano uguali a $0$? (che andrebbero bene visto il problema)
Paola
Non è che quando hai studiato il segno hai analizzato solo quando i fattori erano positivi e non anche quando erano uguali a $0$? (che andrebbero bene visto il problema)
Paola
Ora scrivo i dettagli degli studi delle due disequazioni.
1)
[tex]\cos x(3\tan^2 x-1)(\cos^2 x+\cos x) \geqslant 0[/tex]
[tex]\cos x \geqslant 0[/tex]
[tex]{-} {\pi \over 2}+2k\pi \leqslant x \leqslant {\pi \over 2}+2k\pi[/tex]
[tex]3tan^2 x-1 \geqslant 0[/tex]
[tex]{tan^2 x}\geqslant {1 \over 3}[/tex]
[tex]tanx \leqslant {-}{ \sqrt{3} \over 3} \vee tanx \geqslant {\sqrt{3} \over 3}[/tex]
[tex]{\pi \over 6} + k\pi \leqslant x \leqslant {5 \over 6}\pi + k\pi \wedge x \neq {\pi \over 2} +k\pi[/tex]
[tex]\cos^2 x + \cos x \geqslant 0[/tex]
[tex]\cos x (\cos x + 1) \geqslant 0[/tex]
[tex]\cos x \leqslant -1 \vee \cos x \geqslant 0[/tex]
[tex]x = \pi +2k\pi \vee {-} {\pi \over 2}+2k\pi \leqslant x \leqslant {\pi \over 2}+2k\pi[/tex]
L'intersezione delle tre soluzioni (mi scuso, ma non saprei come farvi vedere la forma grafica, che sarebbe sicuramente più intuitiva) è
[tex]({\pi \over 6} + k\pi \leqslant x \leqslant {5 \over 6}\pi + k\pi \wedge x \neq {\pi \over 2} +k\pi) \vee x = \pi +2k\pi[/tex]
2)
[tex]\cos^2 x(3\tan^2 x-1)(\cos x+1) \geqslant 0[/tex]
[tex]\cos^2 x \geqslant 0[/tex]
[tex]x \in \mathbb{R}[/tex]
[tex]3tan^2 x-1 \geqslant 0[/tex]
[tex]{tan^2 x}\geqslant {1 \over 3}[/tex]
[tex]tanx \leqslant {-}{ \sqrt{3} \over 3} \vee tanx \geqslant {\sqrt{3} \over 3}[/tex]
[tex]{\pi \over 6} + k\pi \leqslant x \leqslant {5 \over 6}\pi + k\pi \wedge x \neq {\pi \over 2} +k\pi[/tex]
[tex]\cos x + 1 \geqslant 0[/tex]
[tex]\cos x \geqslant -1[/tex]
[tex]x \in \mathbb{R}[/tex]
L'intersezione è
[tex]({\pi \over 6} + k\pi \leqslant x \leqslant {5 \over 6}\pi + k\pi \wedge x \neq {\pi \over 2} +k\pi)[/tex]
ossia la stessa di prima, ad eccezione di [tex]x = \pi +2k\pi[/tex].
Ovviamente il "problema" è nell'ultimissimo passaggio, nello studio di quel fattore dal quale ho raccolto [tex]\cos x[/tex]. Ma come me ne accorgo?
1)
[tex]\cos x(3\tan^2 x-1)(\cos^2 x+\cos x) \geqslant 0[/tex]
[tex]\cos x \geqslant 0[/tex]
[tex]{-} {\pi \over 2}+2k\pi \leqslant x \leqslant {\pi \over 2}+2k\pi[/tex]
[tex]3tan^2 x-1 \geqslant 0[/tex]
[tex]{tan^2 x}\geqslant {1 \over 3}[/tex]
[tex]tanx \leqslant {-}{ \sqrt{3} \over 3} \vee tanx \geqslant {\sqrt{3} \over 3}[/tex]
[tex]{\pi \over 6} + k\pi \leqslant x \leqslant {5 \over 6}\pi + k\pi \wedge x \neq {\pi \over 2} +k\pi[/tex]
[tex]\cos^2 x + \cos x \geqslant 0[/tex]
[tex]\cos x (\cos x + 1) \geqslant 0[/tex]
[tex]\cos x \leqslant -1 \vee \cos x \geqslant 0[/tex]
[tex]x = \pi +2k\pi \vee {-} {\pi \over 2}+2k\pi \leqslant x \leqslant {\pi \over 2}+2k\pi[/tex]
L'intersezione delle tre soluzioni (mi scuso, ma non saprei come farvi vedere la forma grafica, che sarebbe sicuramente più intuitiva) è
[tex]({\pi \over 6} + k\pi \leqslant x \leqslant {5 \over 6}\pi + k\pi \wedge x \neq {\pi \over 2} +k\pi) \vee x = \pi +2k\pi[/tex]
2)
[tex]\cos^2 x(3\tan^2 x-1)(\cos x+1) \geqslant 0[/tex]
[tex]\cos^2 x \geqslant 0[/tex]
[tex]x \in \mathbb{R}[/tex]
[tex]3tan^2 x-1 \geqslant 0[/tex]
[tex]{tan^2 x}\geqslant {1 \over 3}[/tex]
[tex]tanx \leqslant {-}{ \sqrt{3} \over 3} \vee tanx \geqslant {\sqrt{3} \over 3}[/tex]
[tex]{\pi \over 6} + k\pi \leqslant x \leqslant {5 \over 6}\pi + k\pi \wedge x \neq {\pi \over 2} +k\pi[/tex]
[tex]\cos x + 1 \geqslant 0[/tex]
[tex]\cos x \geqslant -1[/tex]
[tex]x \in \mathbb{R}[/tex]
L'intersezione è
[tex]({\pi \over 6} + k\pi \leqslant x \leqslant {5 \over 6}\pi + k\pi \wedge x \neq {\pi \over 2} +k\pi)[/tex]
ossia la stessa di prima, ad eccezione di [tex]x = \pi +2k\pi[/tex].
Ovviamente il "problema" è nell'ultimissimo passaggio, nello studio di quel fattore dal quale ho raccolto [tex]\cos x[/tex]. Ma come me ne accorgo?
Aspetta, quando fai lo studio del segno non devi intersecare le soluzioni, bensì fare la tabella del segno!
Paola
Paola
Hai ragione, scusami.
Ho usato la terminologia sbagliata, ma comunque ho fatto la tabella del segno.
Sarebbe molto più 'veloce' avendo quella davanti agli occhi!
Ho usato la terminologia sbagliata, ma comunque ho fatto la tabella del segno.
Sarebbe molto più 'veloce' avendo quella davanti agli occhi!
Ok però in entrambi i casi devi segnare sulla tabella anche gli zeri dei fattori e includerli nella soluzione. E' lì che sbagli secondo me, prendendo SOLO gli intervalli che ti interessano lasciando indietro degli zeri che magari nella tabella sono nel bel mezzo di un intervallo che non vuoi. Ma data la consegna, anche lo zero è soluzione, quindi devi prenderli.
Paola
Paola
Ah, gli zeri vanno esplicitamente inclusi nella soluzione?
Voglio dire, quando dico che [tex]\cos x \geq -1[/tex] ha soluzione [tex]x \in \mathbb{R}[/tex] mi verrebbe spontaneo considerare che lo zero di questa disequazione sia già stato preso all'interno dell'intervallo, perciò non mi verrebbe da riportarlo poi nella tabella dei segni.
Invece va sempre fatto?
Grazie per l'aiuto!
Voglio dire, quando dico che [tex]\cos x \geq -1[/tex] ha soluzione [tex]x \in \mathbb{R}[/tex] mi verrebbe spontaneo considerare che lo zero di questa disequazione sia già stato preso all'interno dell'intervallo, perciò non mi verrebbe da riportarlo poi nella tabella dei segni.
Invece va sempre fatto?
Grazie per l'aiuto!
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