Disequazioni (63834)

[Alessandra<3]

Come si fa il grafico per le disequazioni?(spero di essere stata abbastanza chiara)

Aggiunto 23 minuti più tardi:

No sorry quello che mi ha spiegato non l'ho fatto, io ho fatto le disequazioni di primo grado. Faccio l'esempio più banale.
5x

[BIT5]

Quando parli di "grafico" delle disequazioni, immagino tu stia parlando delle disequazioni di secondo grado e delle disequazioni fratte.

Ti faccio un paio di esempi, via via piu' difficili, per farti capire (almeno ci provo :D )

Risolviamo:

[math] x^3-2x^2-x+2>0 [/math]

Per prima cosa risolviamo l'equazione

[math] x^3-2x^2-x+2=0 [/math]

Che, con Ruffini prima e con la formula per le equazioni di secondo grado, poi, da' come soluzioni x=1, x=2, x=-1

quindi il polinomio puoi riscriverlo come

[math] (x-1)(x-2)(x+1)>0 [/math]

A questo punto, vediamo ogni singolo fattore quando e' maggiore di zero:

(I) x-1>0 --> x>1
(II) x-2>0 --> x>2
(III) x+1>0 --> x>-1

Rappresentiamo ora su una retta, i valori trovati.
Indichiamo su ogni riga poi, con un segno continuo gli intervalli trovati (ovvero dove ogni fattore e' positivo) tratteggiato nelle parti restanti (ovvero dove il fattore non e' positivo (quindi negativo ;) ).

--------(-1)-----------------(+1)-----(+2)------------>
(I)----------------------------___________________
(II)--------------------------------------___________
(III)------__________________________________

Le tre righe indicano i segni dei fattori.

Iniziamo...

Fino a -1 abbiamo tre linee tratteggiate (quindi meno x meno x meno = meno)
tra -1 e 1 due tratteggiate e una continua (meno x meno x più = più)
tra 1 e 2 una tratteggiata e due continue (più x meno x più = meno)
poi da 2 in poi tutte continue (più x più x più = più )

Ricordiamo la disequazione iniziale. Essa chiedeva > 0
Quindi > 0 significa "più"

allora prendiamo solo gli intervalli che abbiamo visto restituiscono "più"

ovvero tra -1 e 1 e dopo 2

La soluzione della disequazione sara'

[math] -1 < x < 1 \cup x>2 [/math]

Ci sei fino qua?

Aggiunto 1 ore 6 minuti più tardi:

Ok.
Il grafico si usa SOLO per le disequazioni fratte.

Vediamo un esempio

[math] \frac{5x-2}{x-3} > 0 [/math]

Allora risolvo:

il numeratore:

N>0

[math] 5x-2>0 \to 5x>2 \to x> \frac25 [/math]

e il denominatore

[math] x>3 [/math]

A questo punto so quando il numeratore è positivo (e quindi quando è negativo). Stessa cosa del denominatore.

Faccio il grafico segnando i risultati. Su una riga segno il numeratore (riga continua quando e' positivo) e su un'altra il denominatore

---------------(2/5)-----------3------------->
-----------------____________________
-------------------------------__________

Vediamo cosa succede...

Prima di 2/5 abbiamo due linee tratteggiate.
Vuol dire numeratore negativo e denominatore negativo.

[math] \frac{(-)}{(-)} = + [/math]

da 2/5 a 3 abbiamo numer. positivo e denom. negativo e quindi più diviso meno = meno

da 3 in poi, + diviso + = +

La disequazione iniziale era > 0 , quindi dobbiamo prendere i valori positivi.
Essi sono prima di 2/5 e poi da 3

la soluzione sarà

[math] x< \frac25 \cup x>3 [/math]

Aggiunto 3 minuti più tardi:

Se avessi avuto la stessa disequazione, ma < 0 , avresti dovuto:

risolvere in modo IDENTICO (prendi sempre Num> 0 e Den>0)

ma a quel punto avresti dovuto prendere solo l'intervallo dove la divisione e' negativa (0 \to x>-3 [/math]

Grafico:

-------------(-3)-------------(+1)----------->
N_________x-------------------------------
D------------------------------O_________

Prima di -3

[math] \frac{(+)}{(-)} = - [/math]

e va bene (la disequazione era < 0 quindi negativa)

in -3 il numeratore si annulla, quindi viene 0 che va bene
tra -3 e +1 abbiamo

[math] \frac{(-)}{(-)}=+ [/math]

e non va bene (disequazione deve essere 1 [/math]

Se hai dubbi chiedi :)

Aggiunto 1 minuti più tardi:

Va bene, il mio grafico non e' cosi' bello, ma e' la stessa cosa che ti ho postato io!