Disequazione trigonometrica

[andriy84-votailprof]

Ciao a tutti,
ho problemi a risolvere questa disequazione trigonometrica:

$ sqrt(3) sen^2|x|-senxcosx<=0$

Ho provato a studiare la disequazione per valori positivi della x, così da togliere il valore assoluto lasciando il segno inalterato, ottenendo:

Per $x>0$:
(1) $sqrt(3)sen^2x-senxcosx<=0$

Che mettendo in evidenza $senx$ diventa: $senx(sqrt(3)senx-cosx)<=0$

A questo punto tre domande:

a)La soluzione della dis. (1) è data dai seguenti sistemi?

$\{(senx>=0),(sqrt(3)senx-cosx<=0):}$$^^^$$\{(senx<=0),(sqrt(3)senx-cosx>=0):}$

b)Come faccio a risolvere i due sistemi precedenti?
c) Esiste un altor modo per risolvere la (1) (utilizzando formule notevoli o portando tutto in cos o sen)?

[meursault1]

$\sqrt{3} sin x - cos x >= 0$

Dividendo per $2$:

$\sqrt{3}/2 sin x - 1/2 cos x >= 0$

Poiché $sin (pi/6)=1/2$, $cos (pi/6)=\sqrt{3}/2$, risulta:

$sin x cos (pi/6) - cos x sin (pi/6) >= 0$

Da questo punto dovresti essere in grado di andare avanti da solo.
Per i due sistemi ti consiglio di studiare i due fattori con lo schema dei segni, è più veloce.

[andriy84-votailprof]

Ciao, intanto grazie per la pronta risposta.
Ciò che mi sfuggiva era proprio questo, vorrei però sapere che formula hai applicato per poter effettuare il passaggio. La mia difficoltà infatti è capire come accorgermi del $pi/6$ comune. Sono le formule di addizione?

Grazie ancora...

[meursault1]

Sì, si sfruttano le formule di addizione. Quando ti trovi davanti a un'espressione del tipo:

$a sin x + b cos x$

puoi sempre ridurla alla forma $sin(x+alpha)$ dividendo e moltiplicando per $sqrt(a^2+b^2)$. Poiché

$-1 <= a/(sqrt(a^2+b^2)) <= 1$, $-1 <= b/(sqrt(a^2+b^2)) <= 1$

e $(a/(sqrt(a^2+b^2)))^2+(b/(sqrt(a^2+b^2)))^2=1$,

puoi considerare $cos alpha=a/(sqrt(a^2+b^2))$ e $sin alpha=a/(sqrt(a^2+b^2))$.

Risulta allora:

$a sin x + b cos x =$
$= sqrt(a^2+b^2) (a/(sqrt(a^2+b^2)) sin x + b/(sqrt(a^2+b^2)) cos x) =$
$= sqrt(a^2+b^2) (sin x cos alpha + cos x sin alpha) =$
$= sqrt(a^2+b^2) sin(x+alpha)$

Nel tuo esercizio i coefficienti $a$ e $b$ sono tali per cui si riconosce facilmente che $alpha = pi/6$,
ma ovviamente il metodo avrebbe funzionato anche se avessi ottenuto dei valori non riconducibili ad angoli fondamentali.

[andriy84-votailprof]

Ok grazie per la esaustiva spiegazione. Purtroppo adesso stavo cercando di svolgere i due sistemi nella nuova forma ma ho dei dubbi al riguardo poichè dovrei dimostrare quando:

$\{(sinx<=0),(sinxcos(pi/6)-sin(pi/6)cosx >=0):}$

cioè quando:

$sinxcos(pi/6)>=sin(pi/6)cosx$

Ora essendo che $cos(pi/6)=sqrt(3)/2$ e $sin(pi/6)=1/2$ ritorno alla disequazione di prima $sqrt(3)/2 sinx>=1/2 cosx$ .....che non so come risolvere.....
Scusami ma non riesco a capire come andare avanti...

[meursault1]

Non lasciare la differenza, usa la formula!

$sin x cos(pi/6) - cos x sin(pi/6) >=0$
$sin (x-pi/6) >= 0$
$2 k pi <= x-pi/6 <= pi + 2 k pi$
$pi/6 + 2 k pi <= x <= 7/6 pi + 2 k pi$

Ma come ti dicevo prima, forse ti conviene evitare i sistemi, e da qui:

$sin x (sqrt(3) sin x - cos x) <= 0$

studiare separatamente:

- $sin x >= 0 \rightarrow 2 k pi <= x <= pi + 2 k pi$
- $sin x (sqrt(3) sin x - cos x) >= 0 \rightarrow pi/6 + 2 k pi <= x <= 7/6 pi + 2 k pi$

e quindi fare lo schema dei segni, prendendo le zone con il meno.

[andriy84-votailprof]

Grazie mille meursault. Seguendo i tuoi consigli ho svolto la disequazione in questo modo:

$sqrt(3)sin^2|x|-sinxcosx<=0$

Caso $x>0$

$sqrt(3)sin^2x-sinxcosx<=0 to sinx(sqrt(3)sinx-cosx)<=0$

Dividendo il secondo fattore per 2, dalle formule di addizione e sottrazione, si può riscrivere:

$(sinx)(sin(x-pi/6))<=0$

Tale disequazione è verificata dalle soluzioni dei due sistemi:

$I)$ $\{(sinx>=0),(sin(x-pi/6)<=0):}$ $ ^^ $ $II)$ $\{(sinx<=0),(sin(x-pi/6)>=0):}$

Svolgendo i sistemi risulta:

$S_I=phi$ insieme vuoto, perchè ottenevo $\{(2kpi<=x<=pi+2kpi),(7/6pi+2kpi<=x<=13/6pi+2kpi):}$
$S_(II)=pi+2kpi<=x<=7/6pi+2kp$, poichè si ottengono $\{(pi<=x<=2pi+2kpi),(pi/6+2kpi<=x<=7/6pi+2kpi):}$

Quindi la soluzione nel caso di valori positivi è $S=pi+2kpi<=x<=7/6pi+2kpi$



Caso $x<0$

In questo caso ho un pò di dubbi. Volevo sapere se il procedimento qui sotto è giusto:

$-sqrt(3)sin^2x-sinxcosx<=0 to sinx(sqrt(3)sinx+cosx)>=0$

Dividendo il secondo fattore per 2, dalle formule di addizione e sottrazione, si può riscrivere:

$(sinx)(sin(x+pi/6))>=0$

Tale disequazione è verificata dalle soluzioni dei due sistemi:

$I)$ $\{(sinx>=0),(sin(x+pi/6)>=0):}$ $ ^^ $ $II)$ $\{(sinx<=0),(sin(x+pi/6)<=0):}$

Svolgendo i sistemi risulta:

$S_I=2kpi<=x<=5/6pi+2kpi$ poichè si ottengono $\{(2kpi<=x<=pi+2kpi),(-pi/6+2kpi<=x<=5/6pi+2kpi):}$
$S_(II)=pi+2kpi<=x<=11/6pi+2kpi$, poichè si ottengono $\{(pi<=x<=2pi+2kpi),(5/6pi+2kpi<=x<=11/6pi+2kpi):}$

Le due soluzioni però non sono accettabili poichè ci troviamo nel caso $x<0$??

[meursault1]

"andriy84":$S_I=phi$ insieme vuoto, perchè ottenevo $\{(2kpi<=x<=pi+2kpi),(7/6pi+2kpi<=x<=13/6pi+2kpi):}$

Attento: il sistema dà come soluzione $2 k pi <= x <= pi/6 + 2 k pi$, come puoi vedere da questo disegno:
(in rosso $ 2 k pi <= x <= pi + 2 k pi $, in verde $ 7/6 pi + 2 k pi <= x <= 13/6 pi + 2 k pi $)

[asvg]xmin = -3; xmax = 3; ymin = -3; ymax = 3; axes();
stroke="black";
circle([0, 0], 1);
circle([0, 0], 2);
line([-1.73205, -1], [1.73205, 1]);
strokewidth=4;
stroke="red";
arc([1, 0], [-1, 0], 1);
stroke="green";
arc([-1.73205, -1], [1.73205, 1], 2);[/asvg]

La soluzione finale è quindi data da $k pi <= x <= pi/6 + k pi$.

"andriy84":
Caso $x<0$

In questo caso ho un pò di dubbi. Volevo sapere se il procedimento qui sotto è giusto:

$-sqrt(3)sin^2x-sinxcosx<=0 to sinx(sqrt(3)sinx+cosx)>=0$

Controlla i segni... $sin^2 (-x) = sin(-x) sin(-x) = (-sin x) (- sinx) = sin^2 x$.
Essenzialmente, quel valore assoluto è inutile.

[andriy84-votailprof]

Quindi il caso $x<0$ è uguale al caso $x>0$. Così l'unica soluzione è $2kpi<=x<=pi/6+2kpi$.
Ti ringrazio davvero tanto, sei stato gentilissimo, chiaro e molto veloce a rispondere. Soprattutto hai risolto i miei dubbi....
Grazie ancora!

Andrea

[meursault1]

"andriy84":Quindi il caso $x<0$ è uguale al caso $x>0$. Così l'unica soluzione è $2kpi<=x<=pi/6+2kpi$.
Ti ringrazio davvero tanto, sei stato gentilissimo, chiaro e molto veloce a rispondere. Soprattutto hai risolto i miei dubbi....
Grazie ancora!

Andrea

Prego!
Ti faccio notare solo un'ultima cosa: nella soluzione finale c'è $k pi$ e non $2 k pi$,
perché come giustamente avevi scritto prima c'è anche la parte $pi + 2 k pi <= x <= 7/6 pi + 2 k pi$,
che unita a $2 k pi <= x <= pi/6 + 2 k pi$ dà proprio $k pi <= x <= pi/6 + k pi$.

[giammaria2]

C'è anche un altro metodo più veloce per risolvere la disequazione, ed è dividere per $cos^2x$: lecito perchè essendo un quadrato non è mai negativo e $x=\pi/2$ non è soluzione della corrispondente equazione. Si ottiene una semplice disequazione in tg x.

[andriy84-votailprof]

"giammaria":C'è anche un altro metodo più veloce per risolvere la disequazione, ed è dividere per $cos^2x$: lecito perchè essendo un quadrato non è mai negativo e $x=\pi/2$ non è soluzione della corrispondente equazione. Si ottiene una semplice disequazione in tg x.

ho provato a fare come hai detto. Supponiamo di studiare solo il caso $x>0$. Ottengo una disequazione del tipo:

$sqrt(3)tg^2x-tgx<=0$

ponendo $tgx=t$:

$t(sqrt(3)t-1)<=0$

Svolgendo la disequazione ottengo come soluzioni:

$I) pi/2 +2kpi $II)2kpi<=x<=pi/6+2kpi$

Non mi da lo stesso risultato di prima però...cosa c'è che non va?

[giammaria2]

La soluzione della disequazione è $0 \le t \le 1/(\sqrt 3)$ e quindi $0+k \pi \le x\le \pi/6+k \pi$.
Se vuoi vedere le cose fattore per fattore, devi imporli maggiori di 0 (tu hai cercato il minore) e poi applicare la regola dei segni. Inoltre ti ricordo che la periodicità della tangente è $\pi$ e non il suo doppio.
Inoltre la tua ipotesi x>0 non serve: ti è già stato fatto notare che $sin^2|x|=sin^2x$.