Disequazione rognosa

[Marco241]

Salve ragazzi,

questa disequazione mi da problemi:

$ ((sqrt(3-x)-sqrt(5+x))/(|x^2-x|-3)) <0 $

Allora...

N: $ sqrt(3-x)-sqrt(5+x)>0 $

D: $ |x^2-x| -3>0 $

Concentriamoci sul numeratore:

imponendo le condizioni di esistenza ottengo:

$ -5<=x<=3 $

$ 3-x>5+x $

l'intersezione delle soluzioni mi da:

$ -5<=x<=-1 $

Così riscrivo:

N: $ -5<=x<=-1 $

D: $ |x^2-x|>3 $

Per il denominatore ottengo due disequazioni:

$ x^2-x-3>0$

e

$x^2-x+3<0 $

quest'ultima disequazione la butto via in quanto il delta è negativo e la x è sempre positiva dunque non posso trovare valori minori di zero.

Invece

$ x^2-x-3>0$

ammette come soluzioni:

$ x<(1-sqrt(13))/2 $

$ x>(1+sqrt(13))/2 $

Fatti questi calcoli studio il segno della frazione e ottengo

$ x<=-5 $

$ (1-sqrt(13))/2
$ x>(1+sqrt(13))/2 $

Ma il libro mi da come soluzione:

$ (1-sqrt(13))/2
$ (1+sqrt(13))/2
Ho capito perchè il libro esclude il 3 però perchè con i ragionamenti che ho fatto non viene ?Dove sbaglio???

[giammaria2]

Sbagli perché nel grafico finale non tieni conto del campo di esistenza, $-5<=x<=3$. Un'altra pecca è che la $x^2-x-3>0$ avrebbe dovuto essere messa a sistema con $x^2-x>0$ ma questo non influenza il risultato e forse hai solo dimenticato di scriverlo qui o forse hai ragionato che la seconda disequazione è inutile perché conseguenza della prima.

[Marco241]

Giammaria tu dici il campo di esistenza...cioè devo porre:

$ 3-x>=0 $

$ 5+x>=0 $

e anche

$ |x^2-x|-3!=0 $...Anzi no.Perchè imponendo il denominatore >0 includo automaticamente questa condizione.

Tutto quello che ottengo da questo sistema lo devo mettere nello studio finale del segno della frazione.

poi tu dici di $ x^2-x>0 $ ...Se ti ricordi c'è una proprietà del modulo che dice:

$ |F(x)|>A $

Si scompone in

$ F(x)>A $

e

$ F(x)<-A $

che poi vanno uniti.Anche io volevo fare come dici te ma poi mi sono ricordato di questa proprietà.

In definitiva nello studio del segno della frazione mi dovevo ricordare del campo di esistenza credo che l'errore più grosso sia questo...

[giammaria2]

Hai ragione, non pensavo più a quella proprietà del modulo; naturalmente occorre la condizione cha A sia positivo, ma è il nostro caso. Quello che citi in fondo è quindi l'unico errore, non il più grosso.