Disequazione rognosa 2

[Marco241]

Considero il seguente sistema composto dalle due disequazioni:

1) $ (sqrt(4-x^2)+x-1)/((x)^(1/3)-1)>=0 $ nota bene:la x al denominatore è sotto radice cubica.

2) $ (x^2+x)/(3-|(2x+1)/(x-4)|) >=0 $

La mia soluzione è la seguente:

$ x in (-oo;-1] U (1;2] $

Quella del libro invece:

$ x in [-2;-1] U (1;2] $

Cioè chiude a -2...Come mai?

SVOLGIMENTO:

Focalizzo l'attenzione sulla prima disequazione;

N: $ sqrt(4-x^2)>=1-x $

si ottengono i due sistemi

a)
$ 4-x^2>=0 $
$ 1-x<0 $

b)
$ 1-x>=0 $
$ 4-x^2>=1-2x+x^2 $

risolvo entrambi i sistemi e unisco le due soluzioni ottenendo:

$ 1
da cui:

$ (1-sqrt(7))/2<=x<=2 $

Quindi ottengo per la prima disequazione del sistema principale:

N: $ (1-sqrt(7))/2<=x<=2 $

D: $ x>1 $

studio il segno e ottengo:

$ x<=(1-sqrt(7))/2 U 1
Ritorno al sistema principale riportando la soluzione finale della prima disequazione:

1)$ x<=(1-sqrt(7))/2 U 1
2) $ (x^2+x)/(3-|(2x+1)/(x-4)| )>=0 $

Mi concentro sulla seconda disequazione e ottengo:

N: $ x(x+1)>=0 $

$ x<=-1 U x>=0 $

D: $ |(2x+1)/(x-4)|<3 $

il denominatore diventa il seguente sistema

1) $ (5x-11)/(x-4)>0 $ la cui soluzione è $ x<11/5 U x>4 $

2) $ (13-x)/(x-4)<0 $ la cui soluzione è $ x<4 U x>13 $

mettendo a sistema le due soluzioni si ottiene la soluzione finale

$ x<11/5 U x>13 $

Adesso cominciamo a studiare il segno della seconda disequazione del sistema principale:

N: $ x<=-1 U x>=0 $

D:$ x<11/5 U x>13 $.

La soluzione finale è

$ x<=-1 U 0<=x<=11/5 U x>13 $ .

Bene,adesso abbiamo le due soluzioni delle due disequazioni del sistema principale.Consideriamo il seguente sistema:

$ x<=(1-sqrt(7))/2 U 1
e

$ x<=-1 U 0<=x<=11/5 U x>13 $ .

Da questo sistema ottengo la soluzione dell'esercizio:

$ x in (-oo;-1] U (1;2] $

...Dove sbaglio?!

[giammaria2]

Non ho controllato tutti i tuoi calcoli e quindi non escludo la presenza di altri errori ma ma noto che nel grafico dei segni della prima disequazione non hai tenuto conto del campo di esistenza. E' un errore molto comune (consolati, in passato l'ho fatto anch'io) e penso che libri ed insegnanti farebbero meglio a trattare il campo di esistenza in modo diverso dalle altre disequazioni: il mio suggerimento è studiarlo subito, indipendentemente da tutto il resto, e poi nei vari grafici cancellare con qualche tratto di penna le zone che non vi sono comprese.

[Marco241]

Lo so che è un errore molto comune Giammaria ma nella prima disequazione il campo di esistenza l'ho trattato.

Se ci pensi bene per la prima disequazione impongo che il numeratore sia

$ sqrt(f(x))>=g(x) $

che tu ben sai si scompone nei due sistemi:

1)
$ f(x)>=0$
$ g(x)<0$

2)$ g(x)>=0$
$ f(x)>=[g(x)]^2$

le condizioni di esistenza sono incluse nei due sistemi.O meglio la condizione di esistenza è $ f(x)>=0$.

Poi sempre per la prima disequazione se impongo $ x>1 $ automaticamente impongo che il denominatore sia diverso da zero.

[@melia]

Quello che dici è vero, ma quando fai lo studio del segno devi tenere conto che il numeratore (come pure il denominatore) ha 3 possibilità: positivo, negativo, non esiste. Ed è proprio su questa terza possibilità che giammaria ti chiedeva di riflettere.

[Marco241]

Focalizzo l'attenzione sulla prima disequazione;

N: $ sqrt(4-x^2)>=1-x $

si ottengono i due sistemi

a)
$ 4-x^2>=0 $
$ 1-x<0 $

b)
$ 1-x>=0 $
$ 4-x^2>=1-2x+x^2 $

risolvo entrambi i sistemi e unisco le due soluzioni ottenendo:

$ 1

Sara abbi pazienza ma ragioniamo su questa parte che ho scritto.

Quel -2 che deve essere inserito nella soluzione finale si va perdendo in fatti nel sistema a):

a)
$ 4-x^2>=0 $
$ 1-x<0 $

la prima equazione viene $ -2<=x<=2 $ e la seconda $ x>1 $ ...Quel -2 si va giustamente perdendo...ok ho capito...Magari devo fare delle prove prendendo valori inferiori a -2,sostituirli nella x della frazione e vedere cosa succede...A volte capitano dei tranelli negli esercizi...Adesso provo...

[Marco241]

Ecco...noto che se prendo valori inferioria a -2...per esempio-3 la prima frazione non esiste...vediamo cosa succede alla seconda...mi da una disuguaglianza vera...questo valore non le soddisfa simultaneamente...Quindi deduco il perchè chiude a -2...Comunque ho ricontrollato per l'ennesima volta i calcoli e per me ho fatto tutti i passaggi giusti.


Allora mi chiedo...come mai pur avendo ragionato giusto il mio intervallo a sinistra va a -infinito e solo con la sostituzione mi accorgo che lo devo scartare?Ma dov'è la svista qui?

[giammaria2]

Provo a spiegarmi meglio; per semplicità trascuro il fatto che qualcosa si annulli anche se non è un particolare trascurabile. Ci interessa il segno del numeratore e la risposta completa sarebbe: è positivo per $(1-sqrt7)/2<=x<=2$, è negativo per $-2<=x<=(1-sqrt7)/2$, non esiste fuori da questi intervalli. Il denominatore invece esiste sempre, positivo o negativo. Fuori dall'intervallo $-2<=x<=2$ la frazione non è né positiva né negativa: non esiste.
Mi riferivo a questo ragionamento dicendo che devi tener conto del campo di esistenza anche nel grafico dei segni; non basta averlo fatto studiando il numeratore. Ti consiglio di riportare fra i capisaldi anche gli estremi del campo di esistenza e di cancellare con qualche tratto di penna le zone in cui la funzione non esiste.

[Marco241]

Quindi dici che il campo di esistenza deve essere considerato anche nello studio dei segni...Ecco adesso farò attenzione a questa cosa...